समय और कार्य, नल और टंकी — LCM विधि, कार्यक्षमता, मानव-दिवस, मज़दूरी व रिसाव, 30 हल उदाहरण

संक्षिप्त उत्तर: समय और कार्य के प्रश्नों का मूल सूत्र है कार्य = दर × समय; जो व्यक्ति किसी कार्य को n दिन में करता है, उसका 1 दिन का कार्य 1/n होता है। सबसे तेज़ तरीका LCM (कुल कार्य) विधि है — सभी दिनों का LCM कुल कार्य मान लें, फिर हर व्यक्ति की प्रतिदिन इकाइयाँ (कार्यक्षमता) निकालें। दो व्यक्ति a और b दिन में कार्य करते हों तो साथ मिलकर ab/(a+b) दिन लगते हैं, और तीन के लिए abc/(ab+bc+ca)। कार्यक्षमता और समय व्युत्क्रमानुपाती हैं — क्षमता का अनुपात 3 : 2 हो तो समय का अनुपात 2 : 3 होगा। मानव-दिवस का नियम M1D1H1/W1 = M2D2H2/W2 है, और साथ काम करने वालों की मज़दूरी उनके किए गए कार्य के अनुपात में बँटती है (समान दिनों तक काम करने पर क्षमता के अनुपात में)। नल-टंकी में भरने वाला नल धनात्मक और खाली करने वाला नल या रिसाव ऋणात्मक कार्य करता है — a घंटे में भरने और b घंटे में खाली करने वाले नल (b > a) साथ खुलें तो टंकी ab/(b−a) घंटे में भरती है। एकांतर दिन (alternate days) वाले प्रश्नों का कोई एक सूत्र नहीं है — 2 दिन का एक चक्र बनाकर गिनें और अंतिम आंशिक दिन पर विशेष ध्यान दें।

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संक्षिप्त उत्तर

स्थिति	सूत्र / नियम	शर्त
n दिन में पूरा कार्य	1 दिन का कार्य = 1/n	दर पूरे समय स्थिर
A (a दिन) + B (b दिन) साथ	ab/(a+b) दिन	दोनों पूरे समय साथ काम करें
A, B, C (a, b, c दिन) साथ	abc/(ab+bc+ca) दिन	तीनों पूरे समय साथ
A+B साथ x दिन, A अकेला y दिन	B अकेला = xy/(y−x) दिन	y > x
(A+B), (B+C), (C+A) के समय दिए हों	तीनों की दरें जोड़ें = 2(A+B+C)	LCM विधि सबसे सरल
A, B से n गुना कुशल; साथ T दिन	A अकेला = T(n+1)/n, B अकेला = T(n+1)	"n गुना कुशल" = दर n गुनी
क्षमता अनुपात p : q	समय अनुपात q : p	कार्य समान हो
मानव-दिवस	M1D1H1/W1 = M2D2H2/W2	सभी मज़दूर समान क्षमता के
मज़दूरी	किए गए कार्य के अनुपात में	कुल राशि पूरे कार्य की हो
भरने वाला नल a घंटे, खाली करने वाला b घंटे (b > a)	टंकी भरेगी ab/(b−a) घंटे में	टंकी शुरू में खाली
a घंटे की जगह रिसाव से b घंटे लगें	रिसाव भरी टंकी को ab/(b−a) घंटे में खाली करेगा	b > a
दो भरने वाले नल a, b घंटे	ab/(a+b) घंटे	दोनों साथ खुले

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2. सिलेबस में यह टॉपिक क्यों महत्वपूर्ण है?

समय और कार्य तथा नल और टंकी अंकगणित (Arithmetic) के वे अध्याय हैं जिनमें अवधारणा एक ही है — दर × समय = कार्य। राजस्थान CET (12वीं व स्नातक), पटवारी और VDO के गणित भाग में इनसे सीधे और मध्यम स्तर के प्रश्न आते हैं, जबकि SSC CGL/CHSL और RRB NTPC में बीच में छोड़ने, एकांतर दिन, मानव-दिवस और रिसाव वाले बहु-चरणीय प्रश्न भी बनते हैं। इस अध्याय की नींव LCM-HCF और सरलीकरण पर है, क्योंकि कुल कार्य LCM से ही मान लिया जाता है; मज़दूरी के बँटवारे में अनुपात-समानुपात और साझेदारी का प्रयोग होता है।

परीक्षा उपयोगिता: ★★★★★

• राजस्थान CET (12वीं व स्नातक) — दो-तीन व्यक्तियों का संयुक्त कार्य, नल-टंकी, कार्यक्षमता
• पटवारी / VDO — LCM विधि वाले सीधे प्रश्न, मज़दूरी का बँटवारा, मानव-दिवस
• SSC CGL / CHSL / MTS / GD — बीच में छोड़ना, एकांतर दिन, पुरुष-महिला तुलना, रिसाव से टंकी की क्षमता
• RRB NTPC — सरल-मध्यम संयुक्त कार्य और नल-टंकी, प्रतिशत क्षमता वाले प्रश्न

प्रश्न कैसे आते हैं?

1. दो या तीन व्यक्तियों का साथ मिलकर कार्य
2. जोड़ियों (A+B, B+C, C+A) के समय देकर अकेले का समय
3. कोई व्यक्ति बीच में छोड़ दे या बाद में जुड़े
4. एकांतर दिनों में कार्य
5. "A, B से 50% अधिक कुशल है" जैसे क्षमता अनुपात
6. मज़दूरों, दिनों और घंटों का संबंध (मानव-दिवस)
7. मज़दूरी का बँटवारा
8. नल-टंकी, रिसाव और टंकी की क्षमता (लीटर में)

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3. मूल अवधारणा और LCM (कुल कार्य) विधि

कार्य को एक इकाई मानकर भिन्नों से भी हल किया जा सकता है, पर परीक्षा में LCM विधि तेज़ और त्रुटि-रहित है। इसमें सभी दिए गए समयों का LCM निकालकर उसे कुल कार्य (इकाइयाँ) मान लेते हैं; फिर कुल कार्य ÷ व्यक्ति का समय = उस व्यक्ति की प्रतिदिन इकाइयाँ (कार्यक्षमता)।

चरण	क्या करें	उदाहरण (A = 12 दिन, B = 18 दिन)
1	सभी समयों का LCM = कुल कार्य	LCM(12, 18) = 36 इकाई
2	हर व्यक्ति की प्रतिदिन इकाई	A = 36/12 = 3, B = 36/18 = 2
3	साथ काम में दरें जोड़ें	A + B = 5 इकाई/दिन
4	कुल कार्य ÷ संयुक्त दर	36/5 = 7.2 दिन = 7⅕ दिन

जाँच सूत्र से: ab/(a+b) = 12×18/30 = 216/30 = 7.2 दिन। दोनों विधियाँ एक ही उत्तर देती हैं।

3.1 भिन्न विधि बनाम LCM विधि

आधार	भिन्न विधि	LCM विधि
1 दिन का कार्य	A = 1/12, B = 1/18	A = 3, B = 2 इकाई
साथ का 1 दिन	1/12 + 1/18 = 5/36	3 + 2 = 5
कुल समय	1 ÷ 5/36 = 36/5	36 ÷ 5 = 36/5
लाभ	अवधारणा स्पष्ट	भिन्नों का झंझट नहीं, तेज़

3.2 आंशिक कार्य वाले प्रश्न

उदाहरण: A किसी कार्य का 2/3 भाग 10 दिन में करता है। पूरा कार्य कितने दिन में करेगा?

• चरण 1: 2/3 भाग → 10 दिन
• चरण 2: पूरा कार्य → 10 × 3/2 = 15 दिन

उदाहरण: A अकेला 20 दिन में कार्य करता है। 5 दिन में कितना भाग पूरा होगा और कितना शेष रहेगा?

• 5 दिन का कार्य = 5/20 = 1/4; शेष = 3/4

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4. संयुक्त कार्य (Combined Work)

4.1 दो व्यक्ति

उदाहरण 1: A किसी कार्य को 20 दिन में और B 30 दिन में करता है। दोनों साथ कितने दिन में करेंगे?

• LCM(20, 30) = 60 इकाई; A = 3, B = 2 इकाई/दिन
• साथ = 5 इकाई/दिन → 60/5 = 12 दिन
• सूत्र से: 20×30/50 = 600/50 = 12 दिन

4.2 तीन व्यक्ति

उदाहरण 2: A, B, C किसी कार्य को क्रमशः 10, 15 और 30 दिन में करते हैं। तीनों साथ?

• LCM = 30; A = 3, B = 2, C = 1 → कुल 6 इकाई/दिन
• समय = 30/6 = 5 दिन
• सूत्र से: abc/(ab+bc+ca) = 4500/(150+450+300) = 4500/900 = 5 दिन

4.3 साथ का समय और एक का समय दिया हो

उदाहरण 3: A और B साथ मिलकर कार्य 8 दिन में करते हैं; A अकेला 12 दिन में। B अकेला?

• LCM(8, 12) = 24; A+B = 3, A = 2 → B = 1 इकाई/दिन
• B अकेला = 24/1 = 24 दिन
• सूत्र से: xy/(y−x) = 8×12/(12−8) = 96/4 = 24 दिन

4.4 जोड़ियों के समय दिए हों

उदाहरण 4: A और B कार्य को 12 दिन में, B और C 15 दिन में तथा C और A 20 दिन में करते हैं। तीनों साथ और प्रत्येक अकेले?

चरण	गणना
कुल कार्य	LCM(12, 15, 20) = 60
जोड़ियों की दरें	A+B = 5, B+C = 4, C+A = 3
तीनों जोड़ें	2(A+B+C) = 12 → A+B+C = 6
तीनों साथ	60/6 = 10 दिन
A अकेला	6 − (B+C) = 6 − 4 = 2 → 60/2 = 30 दिन
B अकेला	6 − (C+A) = 6 − 3 = 3 → 60/3 = 20 दिन
C अकेला	6 − (A+B) = 6 − 5 = 1 → 60/1 = 60 दिन

4.5 तीसरे व्यक्ति के जुड़ने पर

उदाहरण 5: A 12 दिन और B 16 दिन में कार्य करते हैं; C की सहायता से तीनों 4 दिन में कार्य पूरा करते हैं। C अकेला कितने दिन में करेगा?

• LCM(12, 16) = 48; A = 4, B = 3 इकाई/दिन
• तीनों की दर = 48/4 = 12 → C = 12 − 7 = 5 इकाई/दिन
• C अकेला = 48/5 = 9.6 दिन (9⅗ दिन)

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5. बीच में छोड़ना या बाद में जुड़ना

ऐसे प्रश्नों में यह गिनें कि हर व्यक्ति ने कितने दिन काम किया, फिर (दर × उसके दिन) सबका जोड़ = कुल कार्य रखें।

5.1 कुछ दिन साथ, फिर एक छोड़ दे

उदाहरण 6: A 20 दिन और B 30 दिन में कार्य करता है। दोनों 6 दिन साथ काम करते हैं, फिर A छोड़ देता है। शेष कार्य B कितने दिन में करेगा?

• कुल = 60; A = 3, B = 2
• 6 दिन का कार्य = 6 × 5 = 30 इकाई; शेष = 30 इकाई
• B का समय = 30/2 = 15 दिन (कार्य कुल 6 + 15 = 21 दिन में पूरा)

5.2 कार्य समाप्ति से कुछ दिन पहले छोड़ना

उदाहरण 7: A 15 दिन और B 10 दिन में कार्य करता है। दोनों साथ शुरू करते हैं, पर A कार्य समाप्त होने से 5 दिन पहले छोड़ देता है। कार्य कुल कितने दिन में पूरा हुआ?

• कुल = 30; A = 2, B = 3
• मान लें कुल समय T दिन; B ने T दिन, A ने (T − 5) दिन काम किया
• 2(T − 5) + 3T = 30 → 5T − 10 = 30 → 5T = 40 → T = 8 दिन
• जाँच: A ने 3 दिन × 2 = 6, B ने 8 दिन × 3 = 24 → 30 ✓

शॉर्टकट (इसी स्थिति के लिए): यदि A समाप्ति से k दिन पहले छोड़े, तो T = (कुल कार्य + A की दर × k) ÷ (A + B की दर) = (30 + 2×5)/5 = 8। शर्त — छोड़ने वाले को छोड़कर बाकी लोग अंत तक काम करें।

5.3 शुरू के कुछ दिन अकेले, फिर साथ

उदाहरण 8: A 18 दिन और B 27 दिन में कार्य करता है। A अकेला 3 दिन काम करता है, फिर B भी जुड़ जाता है। शेष कार्य कितने दिन में पूरा होगा?

• LCM(18, 27) = 54; A = 3, B = 2
• A के 3 दिन = 9 इकाई; शेष = 45 इकाई
• साथ = 5 इकाई/दिन → 45/5 = 9 दिन

5.4 मज़दूरों की संख्या बीच में बदलना

उदाहरण 9: 24 मज़दूर किसी कार्य को 30 दिन में पूरा कर सकते हैं। 10 दिन बाद 8 मज़दूर चले जाते हैं। शेष कार्य कितने दिन में पूरा होगा?

• कुल कार्य = 24 × 30 = 720 मानव-दिवस
• 10 दिन में = 24 × 10 = 240; शेष = 480 मानव-दिवस
• बचे मज़दूर = 16 → 480/16 = 30 दिन (कुल 40 दिन)

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6. एकांतर दिनों (Alternate Days) में कार्य

यहाँ दो लोग बारी-बारी से एक-एक दिन काम करते हैं। 2 दिन का एक चक्र बनाएँ, पूरे चक्रों से अधिकतम कार्य निकालें, फिर बचे कार्य को जिसकी बारी हो उससे पूरा कराएँ।

उदाहरण 10: A 8 दिन और B 12 दिन में कार्य करता है। वे एकांतर दिनों में काम करते हैं और A पहले दिन शुरू करता है। कार्य कितने दिन में पूरा होगा?

चरण	गणना
कुल कार्य	LCM(8, 12) = 24; A = 3, B = 2
1 चक्र (2 दिन)	3 + 2 = 5 इकाई
4 चक्र (8 दिन)	20 इकाई; शेष 4
9वाँ दिन (A की बारी)	3 इकाई; शेष 1
10वाँ दिन (B की बारी)	1 इकाई के लिए 1/2 दिन
कुल	9½ दिन

यदि B पहले शुरू करे: 4 चक्र = 8 दिन, 20 इकाई; 9वाँ दिन B → 2 इकाई, शेष 2; 10वें दिन A को 2/3 दिन → कुल 9⅔ दिन। इसलिए "कौन पहले शुरू करता है" बदलने से उत्तर बदल सकता है।

उदाहरण 11: A 10 दिन और B 15 दिन में कार्य करता है; एकांतर दिनों में, A से शुरू। कुल 30 इकाई, चक्र = 5 इकाई, 6 चक्र = 12 दिन में ठीक 30 इकाई → 12 दिन। यहाँ अंतिम चक्र पूरा बैठता है, इसलिए कौन पहले शुरू करे, उत्तर वही रहेगा।

सावधानी: केवल "कुल कार्य ÷ (चक्र की इकाई/2)" से उत्तर निकालना तभी सही है जब कार्य पूरे चक्रों में ठीक समाप्त हो। अन्यथा अंतिम दिन हाथ से गिनें।

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7. कार्यक्षमता (Efficiency) अनुपात

कार्यक्षमता = प्रतिदिन किया गया कार्य। एक ही कार्य के लिए क्षमता ∝ 1/समय।

कथन	क्षमता अनुपात (A : B)	समय अनुपात (A : B)
A, B से दोगुना कुशल	2 : 1	1 : 2
A, B से 50% अधिक कुशल	3 : 2	2 : 3
A, B से 25% अधिक कुशल	5 : 4	4 : 5
A, B से 20% कम कुशल	4 : 5	5 : 4
A, B से 3 गुना कुशल	3 : 1	1 : 3

प्रतिशत को अनुपात में बदलने का अभ्यास प्रतिशत के सूत्र वाले नोट में देखें — "50% अधिक" = 3/2 गुना।

उदाहरण 12: A, B से दोगुना कुशल है और दोनों साथ मिलकर कार्य 14 दिन में करते हैं। A अकेला?

• A = 2, B = 1 इकाई/दिन → कुल कार्य = 3 × 14 = 42 इकाई
• A अकेला = 42/2 = 21 दिन; B अकेला = 42 दिन
• शॉर्टकट: A = T(n+1)/n = 14 × 3/2 = 21 ✓

उदाहरण 13: A, B से 50% अधिक कुशल है। B अकेला 30 दिन लेता है। A अकेला और दोनों साथ?

• क्षमता 3 : 2 → समय 2 : 3 → A = 30 × 2/3 = 20 दिन
• साथ: 20×30/50 = 12 दिन

उदाहरण 14 (पुरुष-महिला): 1 पुरुष का कार्य 2 महिलाओं के बराबर है। 4 पुरुष और 6 महिलाएँ कार्य 10 दिन में करते हैं। 2 पुरुष और 4 महिलाएँ कितने दिन में करेंगे?

• 4P + 6M = 8M + 6M = 14 महिला-इकाई; 2P + 4M = 4M + 4M = 8 महिला-इकाई
• समय ∝ 1/श्रमिक → 14 × 10/8 = 17.5 दिन

उदाहरण 15: 3 पुरुष या 5 महिलाएँ किसी कार्य को 30 दिन में करते हैं। 6 पुरुष और 5 महिलाएँ साथ कितने दिन में करेंगे?

• 3P = 5M (समान समय में समान कार्य) → कुल कार्य = 3 × 30 = 90 पुरुष-दिवस
• 5 महिलाएँ = 3 पुरुष → 6P + 5M = 9 पुरुष
• समय = 90/9 = 10 दिन

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8. मानव-दिवस: M1D1H1/W1 = M2D2H2/W2

M = मज़दूर, D = दिन, H = प्रतिदिन घंटे, W = कार्य की मात्रा। मज़दूर, दिन और घंटे कार्य के समानुपाती हैं; कार्य समान हो तो इनमें से कोई एक बढ़ने पर दूसरा घटता है।

राशि	कार्य समान रहे तो	दिन समान रहें तो
मज़दूर बढ़ें	दिन घटेंगे (व्युत्क्रम)	कार्य बढ़ेगा (प्रत्यक्ष)
घंटे बढ़ें	दिन घटेंगे (व्युत्क्रम)	कार्य बढ़ेगा (प्रत्यक्ष)

उदाहरण 16: 12 मज़दूर प्रतिदिन 8 घंटे काम करके कार्य 10 दिन में करते हैं। वही कार्य 8 दिन में, प्रतिदिन 6 घंटे काम करके कितने मज़दूर करेंगे?

• 12 × 10 × 8 = M2 × 8 × 6 → 960 = 48 M2 → M2 = 20 मज़दूर

उदाहरण 17: 15 मज़दूर 60 m लंबी दीवार 12 दिन में बनाते हैं। 80 m दीवार 10 दिन में बनाने के लिए कितने मज़दूर चाहिए?

• 15 × 12/60 = M2 × 10/80 → 3 = M2/8 → M2 = 24 मज़दूर

उदाहरण 18: 10 मज़दूर प्रतिदिन 6 घंटे काम करके 18 दिन में 1 सड़क-खंड बनाते हैं। 9 मज़दूर प्रतिदिन 8 घंटे काम करके 2 खंड कितने दिन में बनाएँगे?

• 10 × 18 × 6/1 = 9 × D2 × 8/2 → 1080 = 36 D2 → D2 = 30 दिन

शर्त: यह सूत्र तभी लागू है जब सभी मज़दूरों की क्षमता समान हो और कार्य की प्रकृति (कठिनाई) वही रहे। पुरुष-महिला-बच्चे मिले हों तो पहले सबको एक इकाई (जैसे पुरुष-इकाई) में बदलें।

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9. मज़दूरी का बँटवारा

पूरे कार्य की मज़दूरी हर व्यक्ति द्वारा किए गए कार्य के अनुपात में बँटती है। यदि सब बराबर दिन साथ काम करें, तो यह अनुपात कार्यक्षमता का अनुपात बन जाता है (समय के अनुपात का उलटा)।

उदाहरण 19: A 10 दिन और B 15 दिन में कार्य करता है। दोनों साथ कार्य पूरा करके ₹5,000 पाते हैं। किसे कितना?

• क्षमता = 3 : 2 (LCM 30) → A = 5000 × 3/5 = ₹3,000, B = ₹2,000

उदाहरण 20 (तीसरा व्यक्ति): A 12 दिन और B 16 दिन में कार्य करते हैं; C के साथ तीनों 4 दिन में कार्य पूरा करते हैं और ₹2,400 पाते हैं। C का भाग?

व्यक्ति	4 दिन का कार्य (कुल 48)	भाग
A	4 × 4 = 16	2400 × 16/48 = ₹800
B	3 × 4 = 12	2400 × 12/48 = ₹600
C	48 − 28 = 20	2400 × 20/48 = ₹1,000

उदाहरण 21 (असमान दिन): A 20 दिन और B 30 दिन में कार्य करता है। दोनों 6 दिन साथ काम करते हैं, फिर शेष B अकेला 15 दिन में करता है (उदाहरण 6)। ₹1,800 का बँटवारा?

• A का कार्य = 6 × 3 = 18; B का कार्य = 21 × 2 = 42; कुल 60
• A = 1800 × 18/60 = ₹540, B = 1800 × 42/60 = ₹1,260
• यहाँ क्षमता अनुपात (3 : 2) से बाँटना गलत होता, क्योंकि दोनों ने बराबर दिन काम नहीं किया।

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10. नल और टंकी (Pipes and Cisterns)

नल-टंकी, समय और कार्य का ही रूप है: टंकी = कार्य, भरने वाला नल = धनात्मक कार्य, खाली करने वाला नल / रिसाव = ऋणात्मक कार्य।

समय-कार्य	नल-टंकी
व्यक्ति	नल
कार्य पूरा करना	टंकी भरना
कोई काम बिगाड़े	निकास नल / रिसाव (ऋण चिह्न)
कुल कार्य (LCM)	टंकी की क्षमता (इकाई या लीटर)

10.1 भरने वाले नल

उदाहरण 22: दो नल टंकी को 20 मिनट और 30 मिनट में भरते हैं। दोनों साथ खुलें तो? → 20×30/50 = 12 मिनट।

10.2 भरने और खाली करने वाले नल साथ

उदाहरण 23: नल A टंकी को 12 घंटे में, नल B 15 घंटे में भरता है; नल C भरी टंकी को 20 घंटे में खाली करता है। तीनों साथ खुलें तो खाली टंकी कितने घंटे में भरेगी?

• LCM(12, 15, 20) = 60; A = +5, B = +4, C = −3
• शुद्ध दर = +6 इकाई/घंटा → 60/6 = 10 घंटे

उदाहरण 24: एक नल टंकी 6 घंटे में भरता है और दूसरा 12 घंटे में खाली करता है। दोनों साथ? → ab/(b−a) = 6×12/6 = 12 घंटे।

10.3 रिसाव (Leak)

उदाहरण 25: एक नल टंकी को 8 घंटे में भरता है, पर तली में रिसाव के कारण 10 घंटे लगते हैं। रिसाव भरी टंकी को कितने घंटे में खाली करेगा?

• LCM(8, 10) = 40; नल = 5, नल − रिसाव = 4 → रिसाव = 1 इकाई/घंटा
• रिसाव का समय = 40/1 = 40 घंटे; सूत्र: 8×10/(10−8) = 40

10.4 लीटर में क्षमता

उदाहरण 26: एक रिसाव भरी टंकी को 6 घंटे में खाली कर देता है। टंकी में 4 लीटर/मिनट की दर से पानी भरने वाला नल खोला जाता है, फिर भी भरी टंकी 8 घंटे में खाली हो जाती है। टंकी की क्षमता?

चरण	गणना
नल की दर	4 × 60 = 240 लीटर/घंटा
मान लें क्षमता C	रिसाव = C/6, शुद्ध खाली होना = C/8 प्रति घंटा
समीकरण	C/6 − 240 = C/8
हल	C(1/6 − 1/8) = 240 → C/24 = 240 → C = 5,760 लीटर

जाँच: रिसाव = 960 L/घंटा, नल 240 L/घंटा, शुद्ध 720 L/घंटा → 5760/720 = 8 घंटे ✓

10.5 नल को बीच में बंद करना

उदाहरण 27: नल A और B टंकी को 10 और 15 मिनट में भरते हैं। दोनों साथ खोले जाते हैं; 3 मिनट बाद B बंद कर दिया जाता है। टंकी कुल कितने मिनट में भरेगी?

• LCM = 30; A = 3, B = 2; 3 मिनट में 15 इकाई
• शेष 15 इकाई A अकेला → 15/3 = 5 मिनट → कुल 8 मिनट

उदाहरण 28: नल A 20 मिनट और B 30 मिनट में टंकी भरते हैं। दोनों साथ खोले गए। B को कितने मिनट बाद बंद करें कि टंकी ठीक 15 मिनट में भर जाए?

• LCM = 60; A = 3, B = 2; A पूरे 15 मिनट → 45 इकाई
• B को 15 इकाई भरनी होंगी → 15/2 = 7.5 मिनट बाद बंद करें

10.6 नल बारी-बारी से

उदाहरण 29: नल A 6 घंटे और B 9 घंटे में टंकी भरते हैं। वे बारी-बारी से 1-1 घंटा खुलते हैं, A से शुरू। टंकी कब भरेगी?

• LCM = 18; A = 3, B = 2; 2 घंटे का चक्र = 5 इकाई
• 3 चक्र = 6 घंटे = 15 इकाई; शेष 3 इकाई → 7वें घंटे A पूरा भर देता है
• कुल = 7 घंटे

10.7 टंकी आंशिक भरी हो

उदाहरण 30: नल A टंकी को 12 मिनट में भरता है और B उसे 18 मिनट में खाली करता है। टंकी आधी भरी है और दोनों खोल दिए जाते हैं। टंकी कब पूरी भरेगी?

• LCM = 36; A = +3, B = −2 → शुद्ध +1 इकाई/मिनट
• भरना शेष = 36/2 = 18 इकाई → 18 मिनट

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11. शॉर्टकट और उनकी शर्तें

शॉर्टकट	कब मान्य	कब नहीं
ab/(a+b)	दोनों पूरे समय साथ, स्थिर दर	कोई बीच में छोड़े, एकांतर दिन
abc/(ab+bc+ca)	तीनों पूरे समय साथ	किसी एक के समय में बदलाव
xy/(y−x)	x = साथ का समय, y = एक का समय, y > x	यदि y ≤ x — तब प्रश्न में त्रुटि है
ab/(b−a) (नल-टंकी)	भरना a, खाली करना b, b > a, टंकी खाली से शुरू	b < a हो तो टंकी कभी नहीं भरेगी (भरी टंकी ab/(a−b) में खाली होगी)
क्षमता p : q → समय q : p	कार्य की मात्रा समान	अलग-अलग मात्रा का कार्य
मज़दूरी ∝ क्षमता	सभी ने बराबर दिन काम किया	असमान दिन — तब किए गए कार्य के अनुपात में
M1D1H1/W1 = M2D2H2/W2	सभी मज़दूर समान क्षमता	पुरुष-महिला मिश्रित — पहले एक इकाई में बदलें
n गुना कुशल: A = T(n+1)/n	"n गुना" का अर्थ दर n गुनी	"n गुना अधिक" की भाषा अस्पष्ट हो तो प्रश्न का संदर्भ देखें

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12. परीक्षा में कौन-सी गलतियाँ होती हैं? (Exam Trap)

Trap 1: समय नहीं, दरें जुड़ती हैं

A 10 दिन और B 15 दिन लेता है तो साथ में 25 दिन या 12.5 दिन नहीं — दरें जुड़ती हैं: 3 + 2 = 5 इकाई (कुल 30) → 6 दिन। साथ का समय हमेशा सबसे तेज़ व्यक्ति के समय से कम होता है।

Trap 2: "50% अधिक कुशल" का अर्थ "50% कम समय" नहीं

क्षमता 3/2 गुना होने पर समय 2/3 हो जाता है, यानी समय में 33⅓% कमी — 50% नहीं। B 30 दिन लेता हो तो A 20 दिन लेगा, 15 दिन नहीं।

Trap 3: एकांतर दिन में "कौन पहले"

जब कार्य पूरे चक्रों में ठीक न बैठे, तो पहले शुरू करने वाले व्यक्ति के बदलने से उत्तर बदल जाता है (उदाहरण 10: 9½ बनाम 9⅔ दिन)।

Trap 4: "समाप्ति से k दिन पहले छोड़ा" बनाम "k दिन बाद छोड़ा"

"k दिन बाद छोड़ा" में छोड़ने वाले ने k दिन काम किया; "समाप्ति से k दिन पहले छोड़ा" में उसने (T − k) दिन काम किया, जहाँ T अज्ञात है — समीकरण बनाना पड़ता है।

Trap 5: मज़दूरी हमेशा क्षमता के अनुपात में नहीं

यदि लोगों ने अलग-अलग दिन काम किया हो, तो मज़दूरी किए गए कुल कार्य के अनुपात में बँटेगी (उदाहरण 21), क्षमता के अनुपात में नहीं।

Trap 6: रिसाव का समय और भरने का समय उलझाना

"8 घंटे की जगह 10 घंटे लगे" में रिसाव का समय 2 घंटे या 18 घंटे नहीं — 8×10/2 = 40 घंटे। रिसाव की दर = नल की दर − शुद्ध दर।

Trap 7: मिनट और घंटे का मेल

उदाहरण 26 में नल की दर लीटर/मिनट और रिसाव का समय घंटों में है। पहले सबको एक ही इकाई (यहाँ घंटा) में बदलें, अन्यथा उत्तर 60 गुना गलत आएगा।

Trap 8: मानव-दिवस में कार्य की मात्रा भूलना

दीवार 60 m से 80 m हो गई तो W बदला है; केवल M1D1 = M2D2 लगाने पर 18 मज़दूर (गलत) आएँगे — सही उत्तर 24 है (उदाहरण 17)।

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13. Most-Asked रिवीज़न तालिका (50 तथ्य)

क्रम	प्रश्न / स्थिति	उत्तर
1	n दिन में कार्य → 1 दिन का कार्य	1/n
2	दो व्यक्ति साथ (a, b दिन)	ab/(a+b)
3	तीन व्यक्ति साथ (a, b, c दिन)	abc/(ab+bc+ca)
4	A 6 दिन, B 12 दिन → साथ	4 दिन
5	A 10 दिन, B 15 दिन → साथ	6 दिन
6	A 12 दिन, B 18 दिन → साथ	7.2 दिन
7	A 20 दिन, B 30 दिन → साथ	12 दिन
8	A 15 दिन, B 10 दिन → साथ	6 दिन
9	A 10, B 15, C 30 दिन → तीनों साथ	5 दिन
10	A 12, B 24, C 8 दिन → तीनों साथ	4 दिन
11	दो समान व्यक्ति (प्रत्येक n दिन) साथ	n/2 दिन
12	A+B 8 दिन, A 12 दिन → B	24 दिन
13	A+B 10 दिन, A 15 दिन → B	30 दिन
14	A+B 12, B+C 15, C+A 20 → तीनों	10 दिन
15	उसी प्रश्न में A अकेला	30 दिन
16	उसी प्रश्न में C अकेला	60 दिन
17	2/3 कार्य 10 दिन में → पूरा	15 दिन
18	3/4 कार्य 12 दिन में → पूरा	16 दिन
19	A 20, B 30; 6 दिन साथ, फिर B → शेष	15 दिन
20	A 15, B 10; A समाप्ति से 5 दिन पहले छोड़े → कुल	8 दिन
21	A 18, B 27; A 3 दिन अकेला, फिर साथ → शेष	9 दिन
22	24 मज़दूर 30 दिन; 10 दिन बाद 8 जाएँ → शेष	30 दिन
23	A 8, B 12 एकांतर, A पहले	9½ दिन
24	A 8, B 12 एकांतर, B पहले	9⅔ दिन
25	A 10, B 15 एकांतर (कोई भी पहले)	12 दिन
26	क्षमता और समय का संबंध	व्युत्क्रमानुपाती
27	A, B से 50% अधिक कुशल → समय अनुपात	2 : 3
28	A, B से 25% अधिक कुशल → समय अनुपात	4 : 5
29	A, B से दोगुना कुशल; साथ 14 दिन → A	21 दिन
30	A, B से 50% अधिक कुशल; B 30 दिन → A	20 दिन
31	A, B से 3 गुना कुशल; साथ 15 दिन → B	60 दिन
32	1 पुरुष = 2 महिला; 4P+6M 10 दिन → 2P+4M	17.5 दिन
33	3 पुरुष या 5 महिलाएँ 30 दिन → 6P+5M	10 दिन
34	मानव-दिवस सूत्र	M1D1H1/W1 = M2D2H2/W2
35	12 मज़दूर, 10 दिन, 8 घंटे → 8 दिन, 6 घंटे में मज़दूर	20
36	15 मज़दूर, 60 m, 12 दिन → 80 m, 10 दिन में मज़दूर	24
37	10 मज़दूर × 18 दिन × 6 घंटे, 1 खंड → 9 मज़दूर, 8 घंटे, 2 खंड	30 दिन
38	20 मज़दूर 15 दिन → 25 मज़दूर	12 दिन
39	मज़दूरी किस अनुपात में	किए गए कार्य के अनुपात में
40	A 10, B 15; ₹5,000 → A का भाग	₹3,000
41	A 12, B 16, C सहित 4 दिन; ₹2,400 → C	₹1,000
42	भरने वाले दो नल 20, 30 मिनट → साथ	12 मिनट
43	भरे 6 घंटे, खाली 12 घंटे → साथ	12 घंटे में भरेगी
44	भरे 12, 15; खाली 20 घंटे → तीनों	10 घंटे
45	8 घंटे की जगह रिसाव से 10 घंटे → रिसाव	40 घंटे
46	4 घंटे की जगह रिसाव से 5 घंटे → रिसाव	20 घंटे
47	रिसाव 6 घंटे, नल 4 L/मिनट, खाली 8 घंटे → क्षमता	5,760 लीटर
48	A 10, B 15 मिनट; 3 मिनट बाद B बंद → कुल	8 मिनट
49	A 6, B 9 घंटे बारी-बारी, A पहले	7 घंटे
50	भरना 12 मिनट, खाली 18 मिनट, टंकी आधी भरी	18 मिनट

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14. परीक्षा में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

इस अध्याय के प्रश्न प्रायः छह ढाँचों में आते हैं। हर ढाँचे के लिए एक स्वयं बनाया गया नमूना प्रश्न:

1. सीधा संयुक्त कार्य: "A 16 दिन और B 48 दिन में कार्य करता है; दोनों साथ?" (LCM 48: 3 + 1 = 4 → 12 दिन)
2. जोड़ी से अकेला: "A और B साथ 6 दिन में, A अकेला 10 दिन में; B अकेला?" (6×10/4 = 15 दिन)
3. बीच में छोड़ना: "A 12 दिन, B 24 दिन; दोनों 4 दिन साथ काम करके A छोड़ दे, B शेष कितने दिन में?" (LCM 24: A 2, B 1; 4 दिन में 12; शेष 12 → 12 दिन)
4. क्षमता: "A, B से 25% अधिक कुशल है; B 20 दिन लेता है; A?" (समय 4 : 5 → 16 दिन)
5. मानव-दिवस: "20 मज़दूर 15 दिन में; 25 मज़दूर कितने दिन में?" (300/25 = 12 दिन)
6. नल-टंकी: "नल 4 घंटे में भरता है, रिसाव से 5 घंटे लगते हैं; रिसाव भरी टंकी कितने में खाली करेगा?" (4×5/1 = 20 घंटे)

रणनीति: हर प्रश्न में सबसे पहले LCM से कुल कार्य मानें और हर व्यक्ति या नल की प्रतिदिन (प्रति घंटा) इकाई लिख लें। फिर पूछें — किसने कितने दिन काम किया? उसी से समीकरण बनता है। उत्तर के बाद दरों से एक बार जाँच कर लें।

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15. इसे आसानी से याद कैसे रखें?

1. "गुणा ऊपर, जोड़ नीचे": दो व्यक्ति साथ — ab/(a+b)। नल-टंकी में एक खाली करे तो "गुणा ऊपर, घटाव नीचे" — ab/(b−a)।

2. "LCM = कुल काम, भाग = दम": कुल कार्य = LCM; कुल ÷ दिन = व्यक्ति का "दम" (क्षमता)।

3. "दम दोगुना, दिन आधे": क्षमता और समय उलटे चलते हैं।

4. "MDH बराबर, W से भाग": M1D1H1/W1 = M2D2H2/W2 — मसाले के ब्रांड जैसा "MDH" याद रखें, नीचे W।

5. "जितना काम, उतना दाम": मज़दूरी किए गए कार्य के अनुपात में।

6. "रिसाव = चोर नल": रिसाव को ऋणात्मक नल मानें; उसकी दर = (नल की दर) − (शुद्ध दर)।

7. "जोड़ियाँ जोड़ो, आधा करो": (A+B) + (B+C) + (C+A) = 2(A+B+C)।

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16. कथन अभ्यास

A 10 दिन और B 15 दिन में कार्य करता है, तो दोनों साथ 6 दिन में करेंगे। — सही।

दो व्यक्तियों के साथ काम करने का समय सबसे तेज़ व्यक्ति के समय से अधिक हो सकता है। — गलत (साथ का समय सदा सबसे तेज़ व्यक्ति के समय से कम होता है)।

कार्यक्षमता और समय समानुपाती होते हैं। — गलत (समान कार्य के लिए व्युत्क्रमानुपाती होते हैं)।

A, B से 50% अधिक कुशल है, तो A को B से 50% कम समय लगेगा। — गलत (समय 2/3 होगा, यानी 33⅓% कम)।

A+B, B+C, C+A की दरों का योग A+B+C की दर का दोगुना होता है। — सही।

मानव-दिवस सूत्र में कार्य की मात्रा बढ़ने पर आवश्यक मज़दूर भी बढ़ते हैं, यदि दिन और घंटे वही रहें। — सही।

असमान दिनों तक काम करने वालों की मज़दूरी उनकी क्षमता के अनुपात में बँटती है। — गलत (किए गए कुल कार्य के अनुपात में बँटती है)।

एकांतर दिनों वाले प्रश्न में पहले शुरू करने वाले व्यक्ति के बदलने से उत्तर कभी नहीं बदलता। — गलत (कार्य पूरे चक्रों में न बँटे तो उत्तर बदल सकता है)।

भरने वाला नल 6 घंटे और खाली करने वाला 12 घंटे लेता हो, तो दोनों साथ खुलने पर खाली टंकी 12 घंटे में भरेगी। — सही।

नल 8 घंटे में भरता है पर रिसाव से 10 घंटे लगते हैं, तो रिसाव भरी टंकी को 2 घंटे में खाली करेगा। — गलत (8×10/2 = 40 घंटे में)।

यदि खाली करने वाला नल भरने वाले से तेज़ हो, तो दोनों साथ खुलने पर खाली टंकी कभी नहीं भरेगी। — सही।

नल-टंकी के प्रश्नों में LCM विधि का प्रयोग नहीं किया जा सकता। — गलत (टंकी की क्षमता को LCM मानकर यही विधि लगती है)।

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17. एक दिन पहले — 15 रेखाएँ

1. कार्य = दर × समय; n दिन में कार्य → 1 दिन में 1/n
2. LCM = कुल कार्य; कुल ÷ दिन = प्रतिदिन इकाई
3. दो साथ: ab/(a+b); तीन साथ: abc/(ab+bc+ca)
4. A+B = x, A = y → B = xy/(y−x)
5. जोड़ियों का योग = 2(A+B+C)
6. दरें जुड़ती हैं, समय नहीं
7. क्षमता p : q → समय q : p
8. "50% अधिक कुशल" → समय 2/3; "25% अधिक" → समय 4/5
9. बीच में छोड़ना: हर व्यक्ति के कार्य-दिन गिनें, (दर × दिन) का योग = कुल
10. एकांतर दिन: 2 दिन का चक्र, अंतिम दिन हाथ से
11. M1D1H1/W1 = M2D2H2/W2 — समान क्षमता वाले मज़दूर
12. मज़दूरी = किए गए कार्य के अनुपात में
13. खाली करने वाला नल / रिसाव = ऋणात्मक कार्य
14. भरे a, खाली b (b > a) → ab/(b−a) में भरेगी
15. a की जगह b घंटे लगें → रिसाव = ab/(b−a) घंटे

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18. अभ्यास

नोट पढ़ने के बाद इस पृष्ठ के अंत में दिए 25 प्रश्नों का क्विज़ हल करें। हर प्रश्न में पहले LCM से कुल कार्य मानें और उत्तर दरों से जाँचें; जहाँ गलती हो, वहाँ खंड 5 (बीच में छोड़ना), खंड 6 (एकांतर दिन) और खंड 12 (Exam Traps) दोबारा पढ़ें। इसी तरह की गति-दर वाली सोच समय, दूरी और चाल में भी लगती है। परीक्षा-स्तर के मिश्रित अभ्यास के लिए राजस्थान पटवारी 2026 टेस्ट सीरीज़ या SSC CGL 2026 टेस्ट सीरीज़ हल करें।

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19. निष्कर्ष: परीक्षा के लिए क्या याद रखें?

समय-कार्य और नल-टंकी एक ही विचार पर टिके हैं: हर व्यक्ति या नल की एक स्थिर दर होती है, और कुल कार्य = सबकी (दर × समय) का योग। LCM विधि से कुल कार्य को पूर्ण संख्या मान लेने पर लगभग हर प्रश्न दो-तीन पंक्तियों में हल हो जाता है। सूत्र — ab/(a+b), xy/(y−x), ab/(b−a), M1D1H1/W1 — केवल उन्हीं स्थितियों में लगाएँ जहाँ उनकी शर्तें पूरी हों; बीच में छोड़ने, एकांतर दिनों और असमान दिनों की मज़दूरी में हर व्यक्ति के कार्य-दिन गिनकर ही हल करें।

LCM = कुल कार्य | ab/(a+b) | जोड़ियों का योग = 2(A+B+C) | क्षमता ∝ 1/समय | M1D1H1/W1 = M2D2H2/W2 | मज़दूरी ∝ किया गया कार्य | रिसाव = ऋणात्मक नल, ab/(b−a)

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