अनुपात, समानुपात और साझेदारी — मिश्रित-वर्ग अनुपात, तृतीय-चतुर्थ-मध्यानुपाती, सिक्के, मिश्रण — CET

संक्षिप्त उत्तर: दो समान प्रकार की राशियों की तुलना भाग द्वारा करना अनुपात है — a : b = a/b, जहाँ a पूर्वपद और b उत्तरपद है; अनुपात की इकाई नहीं होती। a : b और c : d का मिश्रित (compound) अनुपात ac : bd, वर्गानुपात (duplicate) a² : b², वर्गमूलानुपात (sub-duplicate) √a : √b, घनानुपात a³ : b³ और घनमूलानुपात ∛a : ∛b होता है। चार राशियाँ a, b, c, d समानुपाती हों (a : b :: c : d) तो ad = bc (बाह्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल); इसी से चतुर्थानुपाती d = bc/a, तृतीयानुपाती c = b²/a और मध्यानुपाती = √(ab) निकलते हैं। किसी राशि S को a : b : c में बाँटने पर पहला भाग S × a/(a + b + c) होता है; भिन्नों वाले अनुपात (1/2 : 1/3 : 1/4) को पहले हरों के LCM से गुणा कर पूर्णांक (6 : 4 : 3) बना लेते हैं। x, y के अनुक्रमानुपाती हो तो x/y स्थिर रहता है, और व्युत्क्रमानुपाती हो तो xy स्थिर रहता है। साझेदारी में लाभ पूँजी × समय के अनुपात में बँटता है; समय बराबर हो तो केवल पूँजी के अनुपात में (साधारण साझेदारी)। कार्यकारी साझेदार (working partner) का वेतन या कमीशन पहले लाभ में से अलग किया जाता है, फिर शेष लाभ पूँजी × समय के अनुपात में बँटता है।

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संक्षिप्त उत्तर

अवधारणा	सूत्र / नियम	उदाहरण
अनुपात	a : b = a/b (b ≠ 0)	12 : 18 = 2 : 3
व्युत्क्रम अनुपात	b : a	2 : 3 का 3 : 2
मिश्रित अनुपात	ac : bd	2 : 3 और 4 : 5 → 8 : 15
वर्गानुपात	a² : b²	3 : 4 → 9 : 16
वर्गमूलानुपात	√a : √b	64 : 81 → 8 : 9
घनानुपात	a³ : b³	2 : 3 → 8 : 27
घनमूलानुपात	∛a : ∛b	27 : 125 → 3 : 5
समानुपात	a : b :: c : d ⇔ ad = bc	2 : 3 :: 8 : 12
चतुर्थानुपाती (a, b, c का)	bc/a	4, 9, 12 → 27
तृतीयानुपाती (a, b का)	b²/a	4, 6 → 9
मध्यानुपाती (a, b का)	√(ab)	9, 16 → 12
S को a : b में बाँटना	Sa/(a + b), Sb/(a + b)	1200, 3 : 5 → 450, 750
अनुक्रमानुपात	x = ky (x/y स्थिर)	अधिक वस्तु → अधिक मूल्य
व्युत्क्रमानुपात	xy = k	अधिक श्रमिक → कम दिन
साझेदारी	लाभ ∝ पूँजी × समय	15000×12 : 20000×6 = 3 : 2

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2. सिलेबस में यह टॉपिक क्यों महत्वपूर्ण है?

अनुपात-समानुपात अंकगणित का "जोड़ने वाला" अध्याय है। औसत, आयु व मिश्रण, समय और कार्य तथा साधारण व चक्रवृद्धि ब्याज के बहुत-से प्रश्न अनुपात की इकाई-विधि से सबसे तेज़ हल होते हैं। सीधे प्रश्न मिश्रित/वर्गानुपात, तृतीय-चतुर्थ-मध्यानुपाती, राशि बँटवारे, सिक्कों, मिश्रण के अनुपात-परिवर्तन और साझेदारी पर बनते हैं।

परीक्षा उपयोगिता: ★★★★★

• राजस्थान CET (12वीं व स्नातक) — अनुपात के प्रकार, समानुपाती, राशि बँटवारा, साझेदारी
• पटवारी / VDO — सिक्के, आय-व्यय-बचत, मिश्रण में पानी मिलाना, सरल साझेदारी
• SSC CGL / CHSL / MTS / GD — तीन अनुपात जोड़ना, संख्या जोड़कर समानुपाती बनाना, यौगिक साझेदारी
• RRB NTPC — सीधे बँटवारे, अनुक्रमानुपात-व्युत्क्रमानुपात, साझेदारी में लाभ हिस्सा

प्रश्न कैसे आते हैं?

1. अनुपात का प्रकार पहचानकर मान निकालना (मिश्रित, वर्ग, वर्गमूल)
2. A : B और B : C देकर A : B : C
3. राशि को दिए अनुपात (भिन्नों सहित) में बाँटना
4. सिक्कों की संख्या, आय-व्यय-बचत
5. मिश्रण में कुछ मिलाकर नया अनुपात बनाना
6. कौन-सी संख्या जोड़ें/घटाएँ कि अनुपात या समानुपात बने
7. साझेदारी — साधारण, यौगिक, बीच में जुड़ना/निकलना, कार्यकारी साझेदार

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3. अनुपात — मूल बातें

नियम	व्याख्या
एक ही इकाई	तुलना से पहले दोनों राशियाँ एक ही इकाई में लाएँ: 50 पैसे : ₹ 2 = 50 : 200 = 1 : 4
सरलतम रूप	दोनों पदों को उनके HCF से भाग दें: 24 : 36 = 2 : 3
गुणा/भाग से अपरिवर्तित	दोनों पदों को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग देने पर अनुपात नहीं बदलता
जोड़/घटाव से बदलता है	दोनों पदों में एक ही संख्या जोड़ने पर अनुपात बदल जाता है (अनुपात 1 : 1 न हो तो)
इकाई नहीं	अनुपात शुद्ध संख्या है, उसकी कोई इकाई नहीं

सरलतम रूप के लिए दोनों पदों का HCF निकालकर भाग दें; बड़े पदों में पहले 2, 3, 5 जैसे छोटे साझा गुणनखंडों से बार-बार भाग देना भी उतना ही सही है।

अनुपात के प्रकार

प्रकार	a : b से	4 : 9 पर उदाहरण
व्युत्क्रम (Inverse)	1/a : 1/b = b : a	9 : 4
वर्गानुपात (Duplicate)	a² : b²	16 : 81
वर्गमूलानुपात (Sub-duplicate)	√a : √b	2 : 3
घनानुपात (Triplicate)	a³ : b³	64 : 729
घनमूलानुपात (Sub-triplicate)	∛a : ∛b	(पूर्ण घन नहीं — ∛4 : ∛9)
मिश्रित (Compound)	a : b और c : d → ac : bd	4 : 9 और 3 : 2 → 12 : 18 = 2 : 3

उदाहरण 1: मिश्रित अनुपात

प्रश्न: 2 : 3, 6 : 11 और 11 : 2 का मिश्रित अनुपात?

हल: (2 × 6 × 11) : (3 × 11 × 2) = 132 : 66 = 2 : 1।

उदाहरण 2: वर्गमूलानुपात और घनमूलानुपात

प्रश्न: 64 : 81 का वर्गमूलानुपात और 27 : 125 का घनमूलानुपात?

हल: √64 : √81 = 8 : 9; ∛27 : ∛125 = 3 : 5।

उदाहरण 3: अनुपातों की तुलना

प्रश्न: 3 : 5, 4 : 7 और 5 : 8 में सबसे बड़ा अनुपात कौन-सा है?

हल: दशमलव में: 3/5 = 0.6, 4/7 ≈ 0.571, 5/8 = 0.625। सबसे बड़ा 5 : 8।

Shortcut (तिर्यक गुणा): a/b और c/d में ad > bc हो तो a/b बड़ा। 3/5 बनाम 5/8: 24 बनाम 25 ⇒ 5/8 बड़ा। यह तभी मान्य है जब सभी हर धनात्मक हों।

उदाहरण 4: अनुपात से व्यंजक

प्रश्न: a : b = 2 : 3 हो तो (2a + 3b) : (3a − b)?

हल: a = 2k, b = 3k रखें: (4k + 9k) : (6k − 3k) = 13 : 3।

Shortcut: जब व्यंजक के हर पद में a और b की घात समान हो (समघात व्यंजक), तो सीधे a = 2, b = 3 रख दें।

उदाहरण 5: वर्गों के योग से संख्याएँ

प्रश्न: तीन संख्याएँ 2 : 3 : 5 में हैं और उनके वर्गों का योग 1368 है। संख्याएँ?

हल: (4 + 9 + 25)k² = 38k² = 1368 ⇒ k² = 36 ⇒ k = 6। संख्याएँ 12, 18, 30।

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4. अनुपात जोड़ना — A : B : C

जब A : B और B : C अलग-अलग दिए हों, तो साझा पद (B) को दोनों में बराबर बनाएँ।

उदाहरण 6

प्रश्न: A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5 हो तो A : B : C?

हल: B को 3 और 4 का LCM = 12 बनाएँ: A : B = 8 : 12, B : C = 12 : 15। अतः A : B : C = 8 : 12 : 15।

Shortcut (N-विधि): A = 2 × 4, B = 3 × 4, C = 3 × 5 — पहले अनुपात का पूर्वपद × दूसरे का पूर्वपद, आदि। चार राशियों के लिए भी: A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5, C : D = 6 : 7 ⇒ A : B : C : D = (2·4·6) : (3·4·6) : (3·5·6) : (3·5·7) = 48 : 72 : 90 : 105 = 16 : 24 : 30 : 35।

उदाहरण 7: बराबरी वाले रूप

दिया गया	अनुपात	विधि
A/2 = B/3 = C/4	2 : 3 : 4	हर ही अनुपात है
2A = 3B = 4C	6 : 4 : 3	1/2 : 1/3 : 1/4 को 12 से गुणा
3A = 5B	A : B = 5 : 3	गुणांक उलट जाते हैं
A का 40% = B का 60%	A : B = 3 : 2	0.4A = 0.6B

"A का x% = B का y%" वाले रूप प्रतिशत के प्रश्नों में भी बहुत आते हैं।

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5. समानुपात — मध्य, तृतीय और चतुर्थ अनुपाती

a : b :: c : d में a और d बाह्य पद, b और c मध्य पद हैं। शर्त: ad = bc।

पद	परिभाषा	सूत्र	उदाहरण
चतुर्थानुपाती	a : b :: c : x	x = bc/a	5, 8, 15 → 24
तृतीयानुपाती	a : b :: b : x	x = b²/a	9, 12 → 16
मध्यानुपाती	a : x :: x : b	x = √(ab)	4, 25 → 10
सतत समानुपात	a : b :: b : c	b² = ac	2, 6, 18

उदाहरण 8: चतुर्थानुपाती

प्रश्न: 4, 9, 12 का चतुर्थानुपाती?

हल: 4 : 9 :: 12 : x ⇒ 4x = 108 ⇒ x = 27।

उदाहरण 9: तृतीयानुपाती

प्रश्न: 4 और 6 का तृतीयानुपाती?

हल: 4 : 6 :: 6 : x ⇒ x = 36/4 = 9।

उदाहरण 10: मध्यानुपाती

प्रश्न: 9 और 16 का मध्यानुपाती? तथा 0.08 और 0.18 का?

हल: √(9 × 16) = √144 = 12; √(0.08 × 0.18) = √0.0144 = 0.12।

उदाहरण 11: कौन-सी संख्या जोड़ें कि समानुपाती बनें

प्रश्न: 6, 15, 20 और 43 में से प्रत्येक में कौन-सी संख्या जोड़ें कि वे समानुपाती हो जाएँ?

हल:

1. (6 + x)(43 + x) = (15 + x)(20 + x)
2. 258 + 49x + x² = 300 + 35x + x²
3. 14x = 42 ⇒ x = 3
4. जाँच: 9 : 18 = 23 : 46 = 1 : 2 ✔

Shortcut: x = (bc − ad)/((a + d) − (b + c)) = (300 − 258)/(49 − 35) = 42/14 = 3। (घटाने वाले प्रश्न में x = (ad − bc)/((a + d) − (b + c)))

उदाहरण 12: कौन-सी संख्या घटाएँ

प्रश्न: 15, 28, 20, 38 में से प्रत्येक से कौन-सी संख्या घटाएँ कि वे समानुपाती हों?

हल: (15 − x)(38 − x) = (28 − x)(20 − x) ⇒ 570 − 53x = 560 − 48x ⇒ 5x = 10 ⇒ x = 2। जाँच: 13 : 26 = 18 : 36 ✔

उदाहरण 13: अनुपात बदलने के लिए संख्या जोड़ना

प्रश्न: 7 : 11 के दोनों पदों में कौन-सी संख्या जोड़ें कि अनुपात 3 : 4 हो जाए?

हल: (7 + x)/(11 + x) = 3/4 ⇒ 28 + 4x = 33 + 3x ⇒ x = 5 (12 : 16 = 3 : 4)।

उदाहरण 14: दो संख्याएँ

प्रश्न: दो संख्याएँ 3 : 5 में हैं। प्रत्येक में 10 जोड़ने पर अनुपात 5 : 7 हो जाता है। संख्याएँ?

हल: (3k + 10)/(5k + 10) = 5/7 ⇒ 21k + 70 = 25k + 50 ⇒ k = 5। संख्याएँ 15, 25।

Shortcut (अंतर-विधि): दोनों में समान संख्या जोड़ने पर अंतर नहीं बदलता। पुराना अंतर 2 भाग, नया अंतर 2 भाग — अतः भाग बराबर: 3 → 5 में 2 भाग = 10 ⇒ 1 भाग = 5। यह तभी सीधे लगता है जब दोनों अनुपातों के अंतर बराबर हों (वरना पहले बराबर करें)।

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6. राशि को दिए अनुपात में बाँटना

स्थिति	विधि
a : b	पहला = S·a/(a + b), दूसरा = S·b/(a + b)
a : b : c	हर भाग = S × (उसका पद)/(a + b + c)
भिन्नों में (1/a : 1/b : 1/c)	हरों के LCM से गुणा कर पूर्णांक बनाएँ
एक भाग दिया	1 भाग = दिया मान / उसका पद
अंतर दिया	1 भाग = अंतर / (पदों का अंतर)

उदाहरण 15

प्रश्न: ₹ 1200 को 3 : 5 में बाँटें।

हल: कुल भाग 8, 1 भाग = 150। हिस्से ₹ 450 और ₹ 750।

उदाहरण 16

प्रश्न: ₹ 5400 को A, B, C में 2 : 3 : 4 में बाँटें।

हल: कुल भाग 9, 1 भाग = 600। A = 1200, B = 1800, C = 2400।

उदाहरण 17: भिन्नों वाला अनुपात

प्रश्न: ₹ 2600 को 1/2 : 1/3 : 1/4 में बाँटें।

हल: 12 से गुणा: 6 : 4 : 3, कुल 13 भाग, 1 भाग = 200। हिस्से ₹ 1200, ₹ 800, ₹ 600।

Trap: 1/2 : 1/3 : 1/4 को 2 : 3 : 4 मान लेना गलत है — भिन्नों का अनुपात उलटा क्रम देता है।

उदाहरण 18: अंतर से राशि

प्रश्न: एक राशि A और B में 5 : 3 में बँटी। A को B से ₹ 600 अधिक मिले। कुल राशि?

हल: अंतर = 2 भाग = 600 ⇒ 1 भाग = 300। कुल 8 भाग = ₹ 2400।

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7. सिक्के, आय-व्यय और मिश्रण के अनुपात

(क) सिक्कों के प्रश्न

मूल नियम: सिक्कों की संख्या का अनुपात × सिक्के का मूल्य = मूल्यों का अनुपात।

सिक्का	₹ 1	50 पैसे	25 पैसे
संख्या का अनुपात	5	6	8
मूल्य (₹) का अनुपात	5 × 1 = 5	6 × 0.5 = 3	8 × 0.25 = 2

उदाहरण 19

प्रश्न: एक थैले में ₹ 1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 5 : 6 : 8 में हैं। कुल मूल्य ₹ 210 है। प्रत्येक प्रकार के सिक्के कितने हैं?

हल:

1. मूल्य अनुपात = 5 : 3 : 2, कुल 10 भाग = ₹ 210 ⇒ 1 भाग = ₹ 21।
2. ₹ 1 के सिक्कों का मूल्य = 105 ⇒ 105 सिक्के।
3. 50 पैसे का मूल्य = 63 ⇒ 63 × 2 = 126 सिक्के।
4. 25 पैसे का मूल्य = 42 ⇒ 42 × 4 = 168 सिक्के।

जाँच: 105 : 126 : 168 = 5 : 6 : 8 ✔ (21 से भाग)।

Shortcut: सीधे सिक्कों की संख्या = 21 × (5, 6, 8), क्योंकि मूल्य का "1 भाग" ही संख्या का "1 भाग" बनता है — यह तभी जब मूल्य अनुपात संख्या-अनुपात से इसी तरह निकाला गया हो।

(ख) आय-व्यय-बचत

बचत = आय − व्यय। दो व्यक्तियों की आय और व्यय के अनुपात तथा बचत दी हो तो दो समीकरण बनाएँ।

उदाहरण 20

प्रश्न: A और B की आय 3 : 2 और व्यय 5 : 3 में है। दोनों ₹ 2000 बचाते हैं। उनकी आय?

हल:

1. आय 3x, 2x; व्यय 5y, 3y।
2. 3x − 5y = 2000 और 2x − 3y = 2000।
3. पहले को 2 से और दूसरे को 3 से गुणा: 6x − 10y = 4000, 6x − 9y = 6000 ⇒ y = 2000।
4. 3x = 2000 + 10000 ⇒ x = 4000। आय ₹ 12000 और ₹ 8000।

जाँच: व्यय 10000, 6000; बचत 2000, 2000 ✔

(ग) मिश्रण में कुछ मिलाकर अनुपात बदलना

नियम: जो घटक नहीं मिलाया जा रहा, उसकी मात्रा स्थिर रहती है — उसी को आधार बनाएँ। मिश्रण-औसत और प्रतिस्थापन (replacement) के प्रश्न एलिगेशन नियम से हल होते हैं।

उदाहरण 21: पानी मिलाना

प्रश्न: 60 लीटर मिश्रण में दूध : पानी = 2 : 1 है। कितना पानी मिलाएँ कि अनुपात 1 : 2 हो जाए?

हल: दूध = 40 L, पानी = 20 L। दूध स्थिर है; नए अनुपात में पानी = 2 × 40 = 80 L। मिलाना = 80 − 20 = 60 लीटर।

उदाहरण 22: पानी मिलाना

प्रश्न: 40 लीटर मिश्रण में दूध : पानी = 3 : 1। कितना पानी मिलाएँ कि अनुपात 3 : 2 हो?

हल: दूध 30, पानी 10। नया पानी = 30 × 2/3 = 20 ⇒ मिलाना = 10 लीटर।

उदाहरण 23: दूध मिलाना

प्रश्न: उसी 40 लीटर (3 : 1) मिश्रण में कितना दूध मिलाएँ कि अनुपात 4 : 1 हो?

हल: पानी 10 स्थिर; नया दूध = 40 ⇒ मिलाना = 40 − 30 = 10 लीटर।

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8. अनुक्रमानुपात और व्युत्क्रमानुपात

आधार	अनुक्रमानुपात (Direct)	व्युत्क्रमानुपात (Inverse)
संकेत	x ∝ y	x ∝ 1/y
समीकरण	x = ky, x₁/y₁ = x₂/y₂	xy = k, x₁y₁ = x₂y₂
व्यवहार	एक बढ़े तो दूसरा उसी अनुपात में बढ़े	एक बढ़े तो दूसरा उसी अनुपात में घटे
उदाहरण	वस्तुओं की संख्या और कुल मूल्य; समान चाल पर दूरी और समय	श्रमिक और दिन (समान कार्य); चाल और समय (समान दूरी)

उदाहरण 24: अनुक्रमानुपात

प्रश्न: 8 kg चीनी का मूल्य ₹ 240 है। 13 kg का मूल्य?

हल: 1 kg = 30 ⇒ 13 kg = ₹ 390।

उदाहरण 25: व्युत्क्रमानुपात

प्रश्न: 12 श्रमिक एक काम 20 दिन में करते हैं। 15 श्रमिक उसे कितने दिन में करेंगे?

हल: 12 × 20 = 15 × D ⇒ D = 16 दिन।

उदाहरण 26: स्थिरांक k

प्रश्न: x, y के अनुक्रमानुपाती है; y = 4 पर x = 12। y = 7 पर x?

हल: k = 12/4 = 3 ⇒ x = 3 × 7 = 21।

उदाहरण 27

प्रश्न: y, x के व्युत्क्रमानुपाती है; x = 4 पर y = 6। x = 8 पर y?

हल: k = 24 ⇒ y = 24/8 = 3।

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9. साझेदारी (Partnership)

प्रकार	लाभ का अनुपात	कब
साधारण साझेदारी	पूँजी के अनुपात में	सभी की पूँजी समान समय के लिए लगी
यौगिक साझेदारी	पूँजी × समय के अनुपात में	पूँजी अलग-अलग समय के लिए लगी
बीच में पूँजी बदली	हर अवधि का (पूँजी × समय) जोड़ें	जोड़ना या निकालना
कार्यकारी साझेदार	पहले वेतन/कमीशन, फिर शेष पूँजी × समय में	एक साझेदार व्यवसाय चलाता है

निष्क्रिय साझेदार (sleeping partner) केवल पूँजी लगाता है, काम नहीं करता — उसे वेतन नहीं मिलता।

उदाहरण 28: साधारण साझेदारी

प्रश्न: A ने ₹ 20000 और B ने ₹ 30000 लगाकर व्यवसाय शुरू किया। वर्ष के अंत में ₹ 15000 लाभ हुआ। हिस्से?

हल: अनुपात 2 : 3, 1 भाग = 3000। A = ₹ 6000, B = ₹ 9000।

उदाहरण 29: यौगिक साझेदारी

प्रश्न: A ने ₹ 15000, 12 महीने के लिए और B ने ₹ 20000, 6 महीने के लिए लगाए। लाभ ₹ 10000। हिस्से?

हल: 15000 × 12 : 20000 × 6 = 180000 : 120000 = 3 : 2। A = ₹ 6000, B = ₹ 4000।

उदाहरण 30: बाद में जुड़ना

प्रश्न: A ने ₹ 24000 से व्यवसाय शुरू किया। 5 महीने बाद B ₹ 36000 लेकर जुड़ा। वर्ष के अंत में लाभ ₹ 15000। B का हिस्सा?

हल:

1. A: 24000 × 12 = 288000।
2. B: 12 − 5 = 7 महीने ⇒ 36000 × 7 = 252000।
3. अनुपात 288 : 252 = 8 : 7, कुल 15 भाग, 1 भाग = 1000।
4. B = ₹ 7000 (A = ₹ 8000)।

Trap: "5 महीने बाद जुड़ा" का अर्थ है 7 महीने पूँजी लगी, 5 नहीं।

उदाहरण 31: बीच में निकासी

प्रश्न: A ने ₹ 40000 लगाए और 6 महीने बाद ₹ 10000 निकाल लिए। B ने पूरे वर्ष ₹ 35000 लगाए। लाभ ₹ 18000। हिस्से?

हल: A = 40000 × 6 + 30000 × 6 = 420000; B = 35000 × 12 = 420000। अनुपात 1 : 1 ⇒ दोनों को ₹ 9000।

उदाहरण 32: कार्यकारी साझेदार

प्रश्न: A (निष्क्रिय) ने ₹ 50000 और B (कार्यकारी) ने ₹ 30000 लगाए। B को प्रबंधन के लिए लाभ का 10% मिलता है, शेष पूँजी के अनुपात में। लाभ ₹ 16000। दोनों के हिस्से?

हल:

1. B का प्रबंधन हिस्सा = 16000 का 10% = 1600।
2. शेष = 14400, अनुपात 5 : 3, 1 भाग = 1800।
3. A = 5 × 1800 = ₹ 9000।
4. B = 3 × 1800 + 1600 = 5400 + 1600 = ₹ 7000।

Trap: पहले पूरे लाभ को बाँटकर फिर B में 10% जोड़ना गलत है — वेतन/कमीशन पहले घटता है।

उदाहरण 33: तीन साझेदार

प्रश्न: A ने ₹ 10000 (12 महीने), B ने ₹ 15000 (8 महीने) और C ने ₹ 20000 (9 महीने) लगाए। लाभ ₹ 21000। C का हिस्सा?

हल: 120000 : 120000 : 180000 = 2 : 2 : 3, 1 भाग = 3000। C = ₹ 9000।

उदाहरण 34: पूँजी और समय के अनुपात दिए

प्रश्न: A, B, C की पूँजी 2 : 3 : 5 और समय 4 : 3 : 2 में है। लाभ ₹ 5400। हिस्से?

हल: 8 : 9 : 10, कुल 27 भाग, 1 भाग = 200। A = 1600, B = 1800, C = 2000।

उदाहरण 35: उलटा प्रश्न — समय का अनुपात

प्रश्न: A और B की पूँजी 3 : 4 में है और लाभ 1 : 2 में बँटा। समय का अनुपात?

हल: समय ∝ लाभ/पूँजी ⇒ 1/3 : 2/4 = 1/3 : 1/2 = 2 : 3।

सूत्र: पूँजी का अनुपात = लाभ/समय; समय का अनुपात = लाभ/पूँजी।

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10. Shortcut विधियाँ — कब मान्य, कब नहीं

Shortcut	कब मान्य	सावधानी
N-विधि (A : B, B : C जोड़ना)	हमेशा, जब बीच का पद साझा हो	क्रम A, B, C ठीक रखें
तिर्यक गुणा से तुलना	सभी पद धनात्मक	ऋणात्मक हर पर असमिका उलटती है
सीधे a = 2, b = 3 रखना	समघात व्यंजक	(a + 5) : b जैसे व्यंजकों पर नहीं
अंतर-विधि (दोनों में समान संख्या जोड़ी)	जोड़ी/घटाई गई संख्या दोनों में बराबर	पहले दोनों अनुपातों का अंतर बराबर करें
स्थिर घटक को आधार बनाना (मिश्रण)	केवल एक घटक मिलाया जाए	मिश्रण निकालकर बदला जाए तो प्रतिस्थापन सूत्र लगेगा
साझेदारी में केवल पूँजी का अनुपात	सबका समय बराबर	समय अलग हो तो पूँजी × समय
भिन्नों का अनुपात → LCM से गुणा	हमेशा	1/a : 1/b ≠ a : b

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11. परीक्षा में कौन-सी गलतियाँ होती हैं? (Exam Trap)

Trap 1: भिन्नों का अनुपात उलटा क्रम देता है

1/2 : 1/3 : 1/4 = 6 : 4 : 3 है, 2 : 3 : 4 नहीं। सबसे बड़ा हिस्सा सबसे छोटे हर (1/2) वाले का है।

Trap 2: 2A = 3B = 4C

इसका अनुपात 2 : 3 : 4 नहीं, बल्कि 1/2 : 1/3 : 1/4 = 6 : 4 : 3 है। गुणांक जितना बड़ा, राशि उतनी छोटी।

Trap 3: वर्गानुपात बनाम वर्गमूलानुपात

Duplicate = वर्ग (a² : b²), Sub-duplicate = वर्गमूल (√a : √b)। "Sub" का अर्थ "नीचे" — यानी मूल।

Trap 4: तृतीयानुपाती बनाम मध्यानुपाती

a, b का तृतीयानुपाती b²/a है; मध्यानुपाती √(ab)। 4 और 9 का तृतीयानुपाती 81/4 = 20.25, मध्यानुपाती 6।

Trap 5: बाद में जुड़ने वाले साझेदार का समय

"4 महीने बाद जुड़ा" ⇒ 8 महीने (वर्ष के अंत तक)। "4 महीने बाद छोड़ दिया" ⇒ 4 महीने।

Trap 6: सिक्कों में संख्या बनाम मूल्य

प्रश्न सिक्कों की संख्या का अनुपात देता है या मूल्य का — पहले पहचानें। संख्या 5 : 6 : 8 ⇒ मूल्य 5 : 3 : 2 (₹ 1, 50 पैसे, 25 पैसे)।

Trap 7: इकाई मिलाए बिना अनुपात

40 मिनट : 2 घंटे = 40 : 120 = 1 : 3, न कि 40 : 2 = 20 : 1।

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12. Most-Asked रिवीज़न तालिका (50 तथ्य)

क्रम	प्रश्न	उत्तर
1	24 : 36 का सरलतम रूप	2 : 3
2	50 पैसे : ₹ 2	1 : 4
3	40 मिनट : 2 घंटे	1 : 3
4	2 : 3 और 4 : 5 का मिश्रित अनुपात	8 : 15
5	2 : 3, 6 : 11, 11 : 2 का मिश्रित अनुपात	2 : 1
6	3 : 4 का वर्गानुपात	9 : 16
7	64 : 81 का वर्गमूलानुपात	8 : 9
8	2 : 3 का घनानुपात	8 : 27
9	27 : 125 का घनमूलानुपात	3 : 5
10	2 : 3 का व्युत्क्रम अनुपात	3 : 2
11	3 : 5, 4 : 7, 5 : 8 में सबसे बड़ा	5 : 8
12	a : b = 2 : 3 ⇒ (2a + 3b) : (3a − b)	13 : 3
13	A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5 ⇒ A : B : C	8 : 12 : 15
14	A/2 = B/3 = C/4 ⇒ A : B : C	2 : 3 : 4
15	2A = 3B = 4C ⇒ A : B : C	6 : 4 : 3
16	3A = 5B ⇒ A : B	5 : 3
17	A का 40% = B का 60% ⇒ A : B	3 : 2
18	2 : 3 : 5 में वर्गों का योग 1368 — संख्याएँ	12, 18, 30
19	समानुपात की शर्त	ad = bc
20	4, 9, 12 का चतुर्थानुपाती	27
21	5, 8, 15 का चतुर्थानुपाती	24
22	4, 6 का तृतीयानुपाती	9
23	9, 12 का तृतीयानुपाती	16
24	9, 16 का मध्यानुपाती	12
25	4, 25 का मध्यानुपाती	10
26	0.08, 0.18 का मध्यानुपाती	0.12
27	सतत समानुपात a, b, c की शर्त	b² = ac
28	6, 15, 20, 43 में क्या जोड़ें (समानुपाती)	3
29	15, 28, 20, 38 से क्या घटाएँ (समानुपाती)	2
30	7 : 11 में क्या जोड़ें कि 3 : 4 बने	5
31	3 : 5 में 10 जोड़कर 5 : 7 — संख्याएँ	15, 25
32	₹ 1200 को 3 : 5 में	450, 750
33	₹ 5400 को 2 : 3 : 4 में — सबसे बड़ा	₹ 2400
34	1/2 : 1/3 : 1/4 का सरल रूप	6 : 4 : 3
35	₹ 2600 को 1/2 : 1/3 : 1/4 में	1200, 800, 600
36	5 : 3 में अंतर ₹ 600 — कुल	₹ 2400
37	सिक्के (₹1, 50p, 25p) संख्या 5 : 6 : 8 — मूल्य अनुपात	5 : 3 : 2
38	उसी में कुल ₹ 210 — 25 पैसे के सिक्के	168
39	आय 3 : 2, व्यय 5 : 3, बचत ₹ 2000 — आय	12000, 8000
40	60 L (2 : 1) में पानी मिलाकर 1 : 2	60 L
41	40 L (3 : 1) में पानी मिलाकर 3 : 2	10 L
42	8 kg = ₹ 240 ⇒ 13 kg	₹ 390
43	12 श्रमिक 20 दिन ⇒ 15 श्रमिक	16 दिन
44	साधारण साझेदारी में लाभ	पूँजी के अनुपात में
45	यौगिक साझेदारी में लाभ	पूँजी × समय के अनुपात में
46	15000 × 12 : 20000 × 6	3 : 2
47	A 24000 (12 माह), B 36000 (5 माह बाद जुड़ा)	8 : 7
48	A 50000, B 30000 (10% प्रबंधन), लाभ 16000 — B	₹ 7000
49	पूँजी 2 : 3 : 5, समय 4 : 3 : 2 — लाभ अनुपात	8 : 9 : 10
50	पूँजी 3 : 4, लाभ 1 : 2 — समय अनुपात	2 : 3

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13. परीक्षा में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

इस अध्याय के प्रश्न प्रायः छह ढाँचों में आते हैं। हर ढाँचे के लिए एक नमूना (स्वयं बनाया गया) प्रश्न:

1. अनुपात का प्रकार: "49 : 100 का वर्गमूलानुपात?" (7 : 10)
2. अनुपात जोड़ना: "A : B = 3 : 4, B : C = 6 : 7, तो A : C?" (A : B : C = 18 : 24 : 28 ⇒ A : C = 9 : 14)
3. समानुपाती: "2.5, 4 और 10 का चतुर्थानुपाती?" (4 × 10/2.5 = 16)
4. बँटवारा: "₹ 3500 को A, B, C में ऐसे बाँटें कि A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5।" (8 : 12 : 15, कुल 35 भाग, 1 भाग = 100 ⇒ ₹ 800, ₹ 1200, ₹ 1500)
5. मिश्रण: "30 L मिश्रण में दूध : पानी = 7 : 3। कितना पानी मिलाएँ कि 7 : 5 हो?" (दूध 21, पानी 9 ⇒ नया पानी 15 ⇒ 6 L)
6. साझेदारी: "A ने ₹ 9000 और B ने ₹ 12000 लगाए; 4 महीने बाद A ने ₹ 3000 और लगाए। वर्ष के अंत में लाभ अनुपात?" (A = 9000 × 4 + 12000 × 8 = 132000, B = 144000 ⇒ 11 : 12)

रणनीति: हर अनुपात को "भाग" (k) में बदलें — 3 : 5 का अर्थ 3k और 5k। प्रश्न जिस राशि को "स्थिर" रखता है (मिश्रण में न मिलाया गया घटक, साझेदारी में समय), उसे पहले पहचानें। मिश्रित अभ्यास के लिए SSC CGL 2026 टेस्ट सीरीज़ हल करें।

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14. इसे आसानी से याद कैसे रखें?

1. "बाहर × बाहर = अंदर × अंदर": a : b :: c : d में ad = bc।

2. तीन अनुपाती: "चौथा — bc/a; तीसरा — b²/a; बीच वाला — √ab"; तीसरे में b दो बार आता है, इसलिए वर्ग।

3. Sub = मूल: "Duplicate दोगुनी घात, Sub-duplicate आधी घात" — Triplicate घन, Sub-triplicate घनमूल।

4. 2A = 3B = 4C: "गुणांक बड़ा, हिस्सा छोटा" — 6 : 4 : 3।

5. N-विधि: A : B = a : b, B : C = c : d ⇒ "ac : bc : bd" — ऊपर-ऊपर, नीचे-ऊपर, नीचे-नीचे।

6. साझेदारी: "पैसा × महीना = हिस्सा"; वेतन पहले निकालो, फिर बाँटो।

7. मिश्रण: "जो नहीं डाला, वही आधार" — पानी मिलाया तो दूध स्थिर।

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15. कथन अभ्यास

अनुपात की कोई इकाई नहीं होती। — सही।

a : b और c : d का मिश्रित अनुपात (a + c) : (b + d) होता है। — गलत (मिश्रित अनुपात ac : bd होता है)।

64 : 81 का वर्गमूलानुपात 8 : 9 है। — सही।

1/2 : 1/3 : 1/4 का सरल रूप 2 : 3 : 4 है। — गलत (6 : 4 : 3 है)।

4 और 6 का तृतीयानुपाती 9 है। — सही।

9 और 16 का मध्यानुपाती 12.5 है। — गलत (मध्यानुपाती √144 = 12 है; 12.5 समांतर माध्य है)।

2A = 3B हो तो A : B = 3 : 2 है। — सही।

दोनों पदों में एक ही संख्या जोड़ने पर अनुपात कभी नहीं बदलता। — गलत (1 : 1 के अलावा अनुपात बदल जाता है; गुणा/भाग से नहीं बदलता)।

श्रमिकों की संख्या और समान कार्य में लगे दिन व्युत्क्रमानुपाती हैं। — सही।

यौगिक साझेदारी में लाभ केवल पूँजी के अनुपात में बँटता है। — गलत (पूँजी × समय के अनुपात में)।

कार्यकारी साझेदार का वेतन लाभ बाँटने से पहले घटाया जाता है। — सही।

₹ 1, 50 पैसे, 25 पैसे के सिक्के 5 : 6 : 8 में हों तो मूल्य 5 : 3 : 2 में होंगे। — सही।

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16. एक दिन पहले — 15 रेखाएँ

1. अनुपात = एक ही इकाई की राशियों का भाग; इकाई नहीं
2. मिश्रित ac : bd; वर्ग a² : b²; वर्गमूल √a : √b; घन a³ : b³
3. a : b :: c : d ⇔ ad = bc
4. चतुर्थानुपाती bc/a; तृतीयानुपाती b²/a; मध्यानुपाती √(ab)
5. A : B, B : C जोड़ना — B बराबर करें (N-विधि: ac : bc : bd)
6. 2A = 3B = 4C ⇒ 6 : 4 : 3
7. भिन्नों का अनुपात — हरों के LCM से गुणा
8. S को a : b : c में — S × पद/(a + b + c)
9. सिक्के: संख्या × मूल्य = मूल्य अनुपात
10. बचत = आय − व्यय; दो समीकरण बनाएँ
11. मिश्रण में मिलाना — न मिलाया गया घटक स्थिर
12. जोड़कर समानुपाती: x = (bc − ad)/((a + d) − (b + c))
13. अनुक्रम: x/y स्थिर; व्युत्क्रम: xy स्थिर
14. साझेदारी: लाभ ∝ पूँजी × समय; "n माह बाद जुड़ा" ⇒ (12 − n) माह
15. कार्यकारी साझेदार: वेतन पहले घटाओ, शेष बाँटो

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17. अभ्यास

नोट पढ़ने के बाद इस पृष्ठ के अंत में दिए 25 प्रश्नों का क्विज़ हल करें। जिन प्रश्नों में गलती हो, उनके लिए खंड 4 (अनुपात जोड़ना), खंड 5 (समानुपाती) और खंड 9 (साझेदारी) दोबारा पढ़ें। परीक्षा-स्तर के अभ्यास के लिए राजस्थान CET (स्नातक) मेगा टेस्ट सीरीज़ हल करें।

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18. निष्कर्ष: परीक्षा के लिए क्या याद रखें?

अनुपात-समानुपात का पूरा अध्याय एक ही विचार पर टिका है — हर राशि को "भाग" (k) के गुणज के रूप में लिखना। मिश्रित, वर्ग और वर्गमूल अनुपात, तीनों प्रकार के अनुपाती, बँटवारा, सिक्के, मिश्रण और साझेदारी — सबमें पहले अनुपात को पूर्णांक भागों में बदलें, फिर एक भाग का मान निकालें। Shortcut तभी लगाएँ जब उसकी शर्त पूरी हो: N-विधि में साझा पद, अंतर-विधि में दोनों में बराबर जोड़, साझेदारी में बराबर समय। ये आदतें आगे औसत, आयु, मिश्रण और समय-कार्य के प्रश्नों को भी आसान बनाती हैं।

ad = bc | चतुर्थ bc/a, तृतीय b²/a, मध्य √ab | मिश्रित ac : bd | 2A = 3B = 4C ⇒ 6 : 4 : 3 | लाभ ∝ पूँजी × समय | वेतन पहले घटाओ

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