LCM-HCF, सरलीकरण और घातांक — घंटियाँ, फीता, शेषफल, VBODMAS, करणी व वर्ग-घन तालिका — CET

संक्षिप्त उत्तर: महत्तम समापवर्तक (HCF) वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं को पूरा-पूरा विभाजित करे, और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जो सभी से पूरी-पूरी विभाजित हो; अभाज्य गुणनखंड विधि में HCF के लिए उभयनिष्ठ गुणनखंडों की न्यूनतम घात और LCM के लिए सभी गुणनखंडों की अधिकतम घात ली जाती है। LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल केवल दो संख्याओं के लिए सत्य है, तीन या अधिक के लिए नहीं। भिन्नों का HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM और LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF। "घंटियाँ एक साथ बजना" और "सबसे छोटी संख्या" वाले प्रश्न LCM से, जबकि "सबसे लंबा फीता" और "सबसे बड़ी संख्या जो भाग दे" वाले प्रश्न HCF से हल होते हैं; समान शेष छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या = अंतरों का HCF। सरलीकरण में VBODMAS क्रम — रेखा-कोष्ठक, कोष्ठक ( ) → { } → [ ], "का" (of), भाग-गुणा, जोड़-घटाव — लगता है, जिसमें भाग-गुणा और जोड़-घटाव बाएँ से दाएँ किए जाते हैं। घातांक के नियम aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ हैं, और करणी में √a × √b = √(ab) सत्य है पर √a + √b ≠ √(a + b)। 1 से 30 तक के वर्ग और 1 से 20 तक के घन याद हों तो वर्गमूल, घनमूल और सन्निकटन के प्रश्न सेकंडों में हल होते हैं।

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संक्षिप्त उत्तर

तथ्य / सूत्र	उत्तर
HCF (अभाज्य गुणनखंड विधि)	उभयनिष्ठ गुणनखंडों की न्यूनतम घातों का गुणनफल
LCM (अभाज्य गुणनखंड विधि)	सभी गुणनखंडों की अधिकतम घातों का गुणनफल
दो संख्याओं के लिए	LCM × HCF = पहली संख्या × दूसरी संख्या
HCF और LCM का संबंध	HCF हमेशा LCM का गुणनखंड होता है
सह-अभाज्य संख्याओं का HCF / LCM	1 / उनका गुणनफल
भिन्नों का HCF	अंशों का HCF ÷ हरों का LCM
भिन्नों का LCM	अंशों का LCM ÷ हरों का HCF
समान शेष छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या	संख्याओं के अंतरों का HCF
सबसे छोटी संख्या जो a, b, c से भाग पर r शेष दे	LCM(a, b, c) + r
सरलीकरण का क्रम	V → B → O → D/M → A/S
aᵐ × aⁿ	aᵐ⁺ⁿ
aᵐ ÷ aⁿ	aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ	aᵐⁿ
a⁰ (a ≠ 0)	1
a⁻ⁿ	1/aⁿ
a^(m/n)	(ⁿ√a)ᵐ
1/(√a − √b)	(√a + √b)/(a − b)
पूर्ण वर्ग का इकाई अंक कभी नहीं	2, 3, 7, 8

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2. सिलेबस में यह टॉपिक क्यों महत्वपूर्ण है?

लघुत्तम-महत्तम और सरलीकरण अंकगणित के सबसे अधिक अंक देने वाले अध्यायों में हैं। SSC और रेलवे परीक्षाओं में सरलीकरण, घातांक और करणी के प्रश्न लगभग हर पाली में दिखते हैं, जबकि राजस्थान CET, पटवारी और VDO में LCM-HCF के शाब्दिक प्रश्न (घंटियाँ, फीता, शेषफल) और सन्निकट मान के प्रश्न प्रमुख हैं। यह अध्याय संख्या पद्धति और विभाज्यता के नियम के अभाज्य गुणनखंडन पर आधारित है, और यहाँ की गणना-गति प्रतिशत तथा लाभ-हानि जैसे आगे के अध्यायों में भी काम आती है।

परीक्षा उपयोगिता: ★★★★★

• राजस्थान CET (12वीं व स्नातक) / पटवारी / VDO — LCM-HCF के शाब्दिक प्रश्न, सरलीकरण, वर्गमूल
• SSC CGL / CHSL / MTS / GD — घातांक, करणी की तुलना, परिमेयीकरण, बीजीय सर्वसमिका आधारित सरलीकरण
• RRB NTPC — सरलीकरण, सन्निकट मान, भिन्नों का LCM-HCF, घंटियों वाले प्रश्न

प्रश्न कैसे आते हैं?

1. सीधी गणना — "36, 48 और 60 का LCM और HCF?"
2. संबंध आधारित — "HCF 12, LCM 360 और एक संख्या 72 हो तो दूसरी?"
3. शाब्दिक — घंटियाँ, फीता, कमरे के फर्श की टाइलें, शेषफल वाली संख्या
4. सरलीकरण — VBODMAS, "का" वाले व्यंजक, सर्वसमिकाएँ
5. घातांक व करणी — x का मान, बड़ी-छोटी करणी की तुलना, परिमेयीकरण
6. सन्निकटन — "4998 × 1.999 का निकटतम मान?"

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3. HCF और LCM — दोनों विधियाँ

3.1 अभाज्य गुणनखंड विधि (चरणबद्ध)

उदाहरण: 36, 48 और 60 का HCF और LCM।

संख्या	अभाज्य गुणनखंड
36	2² × 3²
48	2⁴ × 3
60	2² × 3 × 5
HCF (उभयनिष्ठ, न्यूनतम घात)	2² × 3 = 12
LCM (सभी, अधिकतम घात)	2⁴ × 3² × 5 = 720

ध्यान दें: 5 केवल 60 में है, इसलिए वह HCF में नहीं आता पर LCM में आता है।

3.2 भाग विधि (यूक्लिड विधि) — HCF

उदाहरण: 1071 और 462 का HCF। बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें, फिर भाजक को शेषफल से — जब तक शेष 0 न हो जाए। अंतिम भाजक ही HCF है।

चरण	भाग	शेषफल
1	1071 = 462 × 2 + 147	147
2	462 = 147 × 3 + 21	21
3	147 = 21 × 7 + 0	0
HCF	अंतिम भाजक	21

अब LCM = (1071 × 462)/21 = 23562 (दो संख्याओं वाला संबंध)।

3.3 भाग विधि — LCM (सामूहिक भाग)

उदाहरण: 12, 15, 20 और 54 का LCM। संख्याओं को एक पंक्ति में लिखें और अभाज्य संख्याओं से तब तक भाग दें जब तक कम से कम दो संख्याएँ विभाज्य हों।

भाजक	संख्याएँ
2	12, 15, 20, 54
2	6, 15, 10, 27
3	3, 15, 5, 27
5	1, 5, 5, 9
—	1, 1, 1, 9

LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 9 = 540।

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4. LCM × HCF = गुणनफल — केवल दो संख्याएँ

संख्याएँ	HCF	LCM	HCF × LCM	संख्याओं का गुणनफल	संबंध सही?
12, 18	6	36	216	216	हाँ
72, 60	12	360	4320	4320	हाँ
2, 3, 4	1	12	12	24	नहीं
4, 6, 8	2	24	48	192	नहीं

4.1 हल किए गए उदाहरण

प्रश्न	हल	उत्तर
HCF 12, LCM 360, एक संख्या 72; दूसरी?	12 × 360 / 72	60
दो संख्याओं का अनुपात 3 : 4 और HCF 4; LCM?	संख्याएँ 3 × 4 = 12, 4 × 4 = 16; LCM = 3 × 4 × 4	48
दो संख्याओं का गुणनफल 2160, HCF 12; LCM?	2160 / 12	180
क्या दो संख्याओं का HCF 16 और LCM 380 हो सकता है?	HCF को LCM का गुणनखंड होना चाहिए; 380 ÷ 16 = 23.75	नहीं

शॉर्टकट (अनुपात वाले प्रश्न): यदि संख्याएँ a : b अनुपात में हों (a, b सह-अभाज्य) और HCF = h हो, तो संख्याएँ ah व bh होंगी और LCM = a × b × h। शर्त: अनुपात सरलतम रूप में हो।

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5. भिन्नों का HCF और LCM

सूत्र	उदाहरण: 2/3, 4/9, 8/15
HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM	HCF(2, 4, 8) / LCM(3, 9, 15) = 2/45
LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF	LCM(2, 4, 8) / HCF(3, 9, 15) = 8/3

शर्त: सूत्र लगाने से पहले हर भिन्न को सरलतम रूप में लाएँ। दशमलव संख्याओं (जैसे 0.6, 1.2, 0.18) के लिए दशमलव स्थान बराबर करें (0.60, 1.20, 0.18), पूर्णांक मानकर HCF/LCM निकालें और उतने ही दशमलव स्थान वापस लगाएँ।

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6. शाब्दिक प्रश्न — कब LCM, कब HCF

प्रश्न का संकेत	प्रयोग
एक साथ बजना / मिलना / फिर से साथ होना	LCM
सबसे छोटी संख्या जो सबसे विभाज्य हो	LCM
सबसे बड़ा माप / फीता / बर्तन / टाइल	HCF
सबसे बड़ी संख्या जो सभी को भाग दे	HCF
समान पंक्तियाँ / समूह, अधिकतम सदस्य	HCF

6.1 घंटियाँ एक साथ बजना

प्रश्न	हल	उत्तर
तीन घंटियाँ 6, 8 और 12 मिनट के अंतराल पर बजती हैं; एक साथ बजने के बाद फिर कितने समय में साथ बजेंगी?	LCM(6, 8, 12)	24 मिनट
छह घंटियाँ 2, 4, 6, 8, 10, 12 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं; एक साथ शुरू होकर 30 मिनट में कितनी बार साथ बजेंगी?	LCM = 120 सेकंड; 1800 ÷ 120 = 15; शुरुआत की एक बार जोड़कर	16 बार (शुरुआत छोड़कर 15)

ध्यान दें: "कितनी बार" वाले प्रश्न में देखें कि प्रश्न शुरुआत के समय को गिनता है या नहीं — यही अंतर विकल्पों में 15 और 16 के रूप में आता है।

6.2 सबसे लंबा मापक फीता

प्रश्न: 7 m, 3 m 85 cm और 12 m 95 cm लंबाइयाँ ठीक-ठीक नापने वाला सबसे लंबा फीता?

1. सभी को एक ही इकाई में बदलें: 700 cm, 385 cm, 1295 cm।
2. HCF(700, 385, 1295) = 35।
3. उत्तर: 35 cm (700 ÷ 35 = 20, 385 ÷ 35 = 11, 1295 ÷ 35 = 37)।

6.3 शेषफल वाले प्रश्न — चार प्रकार

प्रकार	सूत्र	उदाहरण	उत्तर
सबसे बड़ी संख्या जो a, b को भाग देकर क्रमशः r₁, r₂ शेष दे	HCF(a − r₁, b − r₂)	1657 और 2037 में शेष 6 और 5 → HCF(1651, 2032)	127
सबसे बड़ी संख्या जो सभी में समान शेष छोड़े	अंतरों का HCF	43, 91, 183 → अंतर 48, 92, 140	4 (शेष 3)
सबसे छोटी संख्या जो सभी से भाग पर समान शेष r दे	LCM + r	12, 15, 20, 54 से भाग पर शेष 8 → 540 + 8	548
सबसे छोटी संख्या जिसमें (भाजक − शेष) सबके लिए समान k हो	LCM − k	6, 9, 12 से शेष 4, 7, 10 (हर बार अंतर 2) → 36 − 2	34

6.4 मिश्रित शर्त वाला प्रश्न

प्रश्न: वह सबसे छोटी संख्या जो 5, 6, 7 और 8 से भाग देने पर 3 शेष दे, पर 9 से पूर्णतः विभाज्य हो।

1. LCM(5, 6, 7, 8) = 840, इसलिए संख्या = 840k + 3।
2. 840 को 9 से भाग देने पर शेष 3, अतः 840k + 3 का शेष = 3k + 3।
3. 3k + 3 को 9 से विभाज्य होना चाहिए → k = 2 सबसे छोटा।
4. संख्या = 840 × 2 + 3 = 1683 (1683 = 9 × 187)।

6.5 सबसे बड़ी / सबसे छोटी 4 अंकों वाली संख्या

प्रश्न	हल	उत्तर
चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या जो 12, 15, 18, 27 से विभाज्य हो	LCM = 540; 9999 ÷ 540 का शेष 279; 9999 − 279	9720
चार अंकों की सबसे छोटी संख्या जो 12, 15, 20 से विभाज्य हो	LCM = 60; 1000 से अगला गुणज 60 × 17	1020

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7. सरलीकरण — VBODMAS

7.1 क्रम तालिका

अक्षर	अर्थ	विवरण
V	Vinculum (रेखा-कोष्ठक)	संख्याओं के ऊपर खिंची रेखा — सबसे पहले हल
B	Brackets (कोष्ठक)	पहले छोटा ( ), फिर मझला { }, फिर बड़ा [ ]
O	Of (का)	"का" का अर्थ गुणा है, पर यह भाग से पहले होता है
D, M	भाग, गुणा	बाएँ से दाएँ
A, S	जोड़, घटाव	बाएँ से दाएँ (या सभी धनात्मक पद जोड़कर ऋणात्मक पदों का योग घटाएँ)

पाठ्यपुस्तकों में अंतर: कई पुस्तकें BODMAS को "पहले भाग, फिर गुणा" के रूप में पढ़ाती हैं। जब तक ÷ का चिह्न केवल अपने ठीक बाद वाली संख्या पर लगाया जाए, यह और "बाएँ से दाएँ" — दोनों एक ही उत्तर देते हैं। गलती तब होती है जब कोई पहले गुणा कर दे, जैसे 18 ÷ 3 × 2 को 18 ÷ 6 = 3 बना दे; सही उत्तर 12 है। इसी तरह 10 − 3 + 2 = 9 है, 5 नहीं।

7.2 हल किए गए उदाहरण

व्यंजक	चरण	उत्तर
8 + 4 × 3 − 6 ÷ 2	8 + 12 − 3	17
36 ÷ 6 × 3 + 4	6 × 3 + 4 = 18 + 4	22
18 ÷ 3 × 2	6 × 2 (बाएँ से दाएँ)	12
16 ÷ 1/4 का 8	पहले "का": 1/4 × 8 = 2; फिर 16 ÷ 2	8
16 ÷ 1/4 × 8	16 ÷ 1/4 = 64; 64 × 8	512
5 + [3 × {8 − (6 − 2)}]	( ) = 4 → { } = 4 → [ ] = 12	17
48 − [18 − {16 − (5 − 4 − 1)}], जहाँ 4 − 1 पर रेखा-कोष्ठक है	रेखा: 4 − 1 = 3 → (5 − 3) = 2 → {16 − 2} = 14 → [18 − 14] = 4	44
120 का 3/4 + 80 का 40%	90 + 32	122

7.3 बीजीय सर्वसमिकाओं से सरलीकरण

सर्वसमिका	उदाहरण	उत्तर
(a² − b²)/(a − b) = a + b	(7.5² − 2.5²)/(7.5 − 2.5)	10
(a³ + b³)/(a² − ab + b²) = a + b	(2.3³ + 1.7³)/(2.3² − 2.3 × 1.7 + 1.7²)	4
(a + b)² − (a − b)² = 4ab	(12.5 + 7.5)² − (12.5 − 7.5)²	4 × 12.5 × 7.5 = 375
(a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²)	(5 + 3)² + (5 − 3)²	2 × 34 = 68
(a³ − b³)/(a² + ab + b²) = a − b	(9³ − 4³)/(9² + 36 + 4²)	5

शर्त: सर्वसमिका तभी लगाएँ जब व्यंजक का ढाँचा ठीक वही हो — जैसे दूसरी पंक्ति में हर का मध्य पद ठीक "− ab" होना चाहिए।

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8. घातांक के नियम

8.1 नियम तालिका

नियम	उदाहरण	उत्तर
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	2⁵ × 2³	2⁸ = 256
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	3⁷ ÷ 3⁴	3³ = 27
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	(3²)³	3⁶ = 729
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ	(2 × 5)³	8 × 125 = 1000
a⁰ = 1 (a ≠ 0)	5⁰, (2026)⁰	1
a⁻ⁿ = 1/aⁿ	2⁻³	1/8
a^(1/n) = ⁿ√a	64^(1/3)	4
a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ	27^(2/3)	3² = 9
a^(m/n)	16^(3/4)	2³ = 8
(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ	(0.04)^(−1.5) = (1/25)^(−3/2) = 25^(3/2)	5³ = 125

8.2 x का मान — आधार बराबर करें

समीकरण	चरण	x
2ˣ = 64	2ˣ = 2⁶	6
3^(x + 1) = 81	x + 1 = 4	3
9ˣ = 27	3^(2x) = 3³ → 2x = 3	3/2
2ˣ × 4 = 128	2^(x + 2) = 2⁷	5

नियम: यदि aˣ = aʸ और a ≠ 0, 1, −1 हो, तो x = y। (a = 1 पर हर घात 1 देती है, इसलिए यह नियम नहीं लगता।)

8.3 बड़ी घातों की तुलना

प्रश्न: 2³⁰⁰ और 3²⁰⁰ में कौन बड़ा? दोनों की घातों का HCF 100 है: 2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰ और 3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰। अतः 3²⁰⁰ बड़ा है।

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9. करणी (Surds), वर्गमूल और घनमूल

9.1 करणी के नियम

नियम	उदाहरण
√a × √b = √(ab)	√2 × √8 = √16 = 4
√a ÷ √b = √(a/b)	√75 ÷ √3 = √25 = 5
सरल रूप	√72 = √(36 × 2) = 6√2
समान करणी का जोड़	√50 + √18 = 5√2 + 3√2 = 8√2
√a + √b ≠ √(a + b)	√9 + √16 = 7, पर √25 = 5
(√a + √b)(√a − √b) = a − b	(√3 + √2)(√3 − √2) = 1

9.2 परिमेयीकरण (हर से करणी हटाना)

व्यंजक	गुणा करें	परिणाम
1/√5	√5/√5	√5/5
1/(√3 − √2)	(√3 + √2)/(√3 + √2)	(√3 + √2)/(3 − 2) = √3 + √2
1/(√5 + √3)	(√5 − √3)/(√5 − √3)	(√5 − √3)/2

9.3 करणियों की तुलना

• योग की तुलना (जब दोनों योग में अंदर की संख्याओं का योग समान हो): √5 + √3 और √6 + √2 — दोनों का वर्ग 8 + 2√15 और 8 + 2√12; अतः √5 + √3 बड़ा। शर्त: 5 + 3 = 6 + 2 = 8, तभी यह सीधी तुलना काम करती है।
• भिन्न मूल वाली करणियाँ: ∛4, √3, ⁶√20 — मूलों का LCM 6 लेकर सबको छठे मूल में बदलें: ⁶√16, ⁶√27, ⁶√20। क्रम: √3 > ⁶√20 > ∛4।

9.4 वर्गमूल — अभाज्य गुणनखंड और इकाई अंक विधि

संख्या	विधि	वर्गमूल
1764	2² × 3² × 7² → 2 × 3 × 7	42
5776	इकाई 6 → 4 या 6; 57 → 7 (7² = 49); 7 × 8 = 56 < 57 → बड़ा अंक 6	76
7056	इकाई 6 → 4 या 6; 70 → 8 (8² = 64); 8 × 9 = 72 > 70 → छोटा अंक 4	84
0.0169	169 का मूल 13; दशमलव स्थान आधे	0.13
2.25	225 का मूल 15	1.5

शर्त: इकाई अंक विधि केवल पूर्ण वर्ग संख्याओं पर लागू है। पूर्ण वर्ग का इकाई अंक कभी 2, 3, 7 या 8 नहीं होता, और अंत में विषम संख्या में शून्य वाली संख्या (जैसे 1000) पूर्ण वर्ग नहीं होती।

9.5 घनमूल — इकाई अंक विधि

घनों के इकाई अंक: 2 ↔ 8 और 3 ↔ 7 आपस में बदलते हैं; 0, 1, 4, 5, 6, 9 वही रहते हैं।

संख्या	अंतिम तीन अंक → इकाई	शेष भाग → दहाई	घनमूल
2744	744 → 4	2 → 1 (1³ = 1 ≤ 2 < 8)	14
9261	261 → 1	9 → 2 (8 ≤ 9 < 27)	21
17576	576 → 6	17 → 2 (8 ≤ 17 < 27)	26
39304	304 → 4	39 → 3 (27 ≤ 39 < 64)	34
274625	625 → 5	274 → 6 (216 ≤ 274 < 343)	65

शर्त: यह विधि केवल पूर्ण घन संख्याओं (6 अंकों तक) के लिए है।

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10. सन्निकटन और मानों की तुलना

10.1 सन्निकट मान

व्यंजक	पूर्णांक के निकट बदलें	सन्निकट उत्तर	वास्तविक मान
4998 × 1.999	5000 × 2	10000	9991.002
1499.9 का 29.98%	1500 का 30%	450	लगभग 449.67
√1225 + √399.9	35 + 20	55	लगभग 54.997

नियम: विकल्प दूर-दूर हों तभी सन्निकटन सुरक्षित है। विकल्प पास-पास हों (जैसे 9990, 9991, 10000) तो पूरी गणना करें।

10.2 भिन्नों की तुलना

विधि	उदाहरण	परिणाम
दशमलव में बदलें	3/5, 5/8, 7/11, 2/3	0.6 < 0.625 < 0.636… < 0.666… → सबसे बड़ा 2/3
तिर्यक गुणा	5/8 बनाम 7/11 → 5 × 11 = 55, 8 × 7 = 56	7/11 बड़ा
अंश-हर का अंतर समान (उचित भिन्न)	1/2, 2/3, 3/4, 4/5	बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी → 4/5

शर्त (तीसरी विधि): सभी भिन्न उचित हों (अंश < हर) और हर भिन्न में (हर − अंश) समान हो। विषम भिन्नों (अंश > हर) में परिणाम उलट जाता है: 3/2 > 4/3 > 5/4।

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11. वर्ग और घन तालिका

11.1 1 से 30 तक के वर्ग

n	n²	n	n²	n	n²
1	1	11	121	21	441
2	4	12	144	22	484
3	9	13	169	23	529
4	16	14	196	24	576
5	25	15	225	25	625
6	36	16	256	26	676
7	49	17	289	27	729
8	64	18	324	28	784
9	81	19	361	29	841
10	100	20	400	30	900

11.2 1 से 20 तक के घन

n	n³	n	n³
1	1	11	1331
2	8	12	1728
3	27	13	2197
4	64	14	2744
5	125	15	3375
6	216	16	4096
7	343	17	4913
8	512	18	5832
9	729	19	6859
10	1000	20	8000

5 पर समाप्त संख्या का वर्ग (शॉर्टकट): 65² → 6 × 7 = 42, अंत में 25 → 4225। शर्त: केवल इकाई अंक 5 वाली संख्याओं के लिए।

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12. परीक्षा में कौन-सी गलतियाँ होती हैं? (Exam Trap)

Trap 1: तीन संख्याओं पर LCM × HCF = गुणनफल

2, 3, 4 का HCF 1 और LCM 12 है, पर गुणनफल 24 है। यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए है।

Trap 2: HCF जो LCM को विभाजित न करे

"दो संख्याओं का HCF 16 और LCM 380" — असंभव, क्योंकि HCF सदैव LCM का गुणनखंड होता है।

Trap 3: भिन्नों में सूत्र उलटना

भिन्नों का HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM; LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF। उलटा लगाने पर HCF, LCM से बड़ा निकल आता है — यह स्वयं गलती का संकेत है।

Trap 4: इकाइयाँ बदले बिना HCF

3 m 85 cm जैसी मिश्रित लंबाइयों को पहले सेंटीमीटर (385 cm) में बदलें, फिर HCF निकालें।

Trap 5: "का" को सामान्य गुणा मानना

16 ÷ 1/4 का 8 = 8, जबकि 16 ÷ 1/4 × 8 = 512। "का" भाग से पहले हल होता है।

Trap 6: भाग से पहले गुणा

18 ÷ 3 × 2 = 12, न कि 3। भाग और गुणा बाएँ से दाएँ हल करें।

Trap 7: √a + √b = √(a + b)

√9 + √16 = 3 + 4 = 7, जबकि √25 = 5। करणी में केवल गुणा और भाग अंदर जुड़ते हैं, जोड़-घटाव नहीं।

Trap 8: a⁰ और 0⁰

a⁰ = 1 केवल a ≠ 0 के लिए। परीक्षा के विकल्पों में 0⁰ का मान नहीं पूछा जाता, क्योंकि स्कूली गणित में यह अपरिभाषित माना जाता है।

Trap 9: घंटियों में शुरुआत की गिनती

30 मिनट में 120 सेकंड के अंतराल पर — शुरुआत छोड़कर 15 बार, शुरुआत गिनकर 16 बार। प्रश्न की भाषा ध्यान से पढ़ें।

Trap 10: विषम भिन्नों पर "अंतर समान" वाला नियम

1/2 < 2/3 < 3/4 सही है, पर 3/2 > 4/3 > 5/4 — विषम भिन्नों में बड़े अंश वाली भिन्न छोटी होती है।

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13. Most-Asked रिवीज़न तालिका (50 तथ्य)

क्रम	प्रश्न	उत्तर
1	36, 48, 60 का HCF	12
2	36, 48, 60 का LCM	720
3	1071 और 462 का HCF	21
4	12, 15, 20, 54 का LCM	540
5	HCF हमेशा LCM का क्या होता है?	गुणनखंड
6	सह-अभाज्य संख्याओं का HCF	1
7	सह-अभाज्य संख्याओं का LCM	उनका गुणनफल
8	LCM × HCF = गुणनफल किसके लिए सत्य	केवल दो संख्याएँ
9	HCF 12, LCM 360, एक संख्या 72; दूसरी	60
10	अनुपात 3 : 4, HCF 4; LCM	48
11	गुणनफल 2160, HCF 12; LCM	180
12	भिन्नों का HCF	अंशों का HCF / हरों का LCM
13	भिन्नों का LCM	अंशों का LCM / हरों का HCF
14	2/3, 4/9, 8/15 का HCF	2/45
15	2/3, 4/9, 8/15 का LCM	8/3
16	6, 8, 12 मिनट वाली घंटियाँ फिर साथ	24 मिनट बाद
17	2–12 सेकंड वाली 6 घंटियों का LCM	120 सेकंड
18	7 m, 3.85 m, 12.95 m का सबसे लंबा फीता	35 cm
19	1657, 2037 को शेष 6, 5 देने वाली सबसे बड़ी संख्या	127
20	43, 91, 183 में समान शेष देने वाली सबसे बड़ी संख्या	4
21	12, 15, 20, 54 से शेष 8 देने वाली सबसे छोटी संख्या	548
22	6, 9, 12 से शेष 4, 7, 10 देने वाली सबसे छोटी संख्या	34
23	5, 6, 7, 8 से शेष 3 और 9 से विभाज्य — सबसे छोटी	1683
24	12, 15, 18, 27 से विभाज्य सबसे बड़ी 4 अंकीय संख्या	9720
25	12, 15, 20 से विभाज्य सबसे छोटी 4 अंकीय संख्या	1020
26	VBODMAS में V	रेखा-कोष्ठक (Vinculum)
27	कोष्ठक हल करने का क्रम	( ) → { } → [ ]
28	18 ÷ 3 × 2	12
29	16 ÷ 1/4 का 8	8
30	8 + 4 × 3 − 6 ÷ 2	17
31	(7.5² − 2.5²)/(7.5 − 2.5)	10
32	(a + b)² − (a − b)²	4ab
33	2⁵ × 2³	256
34	a⁰ (a ≠ 0)	1
35	2⁻³	1/8
36	27^(2/3)	9
37	16^(3/4)	8
38	(0.04)^(−1.5)	125
39	9ˣ = 27 हो तो x	3/2
40	2³⁰⁰ और 3²⁰⁰ में बड़ा	3²⁰⁰
41	√72 का सरल रूप	6√2
42	√50 + √18	8√2
43	1/(√3 − √2)	√3 + √2
44	√5 + √3 और √6 + √2 में बड़ा	√5 + √3
45	√1764	42
46	√0.0169	0.13
47	∛17576	26
48	∛274625	65
49	पूर्ण वर्ग का इकाई अंक कभी नहीं	2, 3, 7, 8
50	3/5, 5/8, 7/11, 2/3 में सबसे बड़ा	2/3

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14. परीक्षा में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

इस अध्याय के प्रश्न प्रायः छह ढाँचों में आते हैं। हर ढाँचे के लिए एक नमूना (स्वयं बनाया गया) प्रश्न:

1. सीधी गणना: "18, 24 और 30 का LCM?" (18 = 2 × 3², 24 = 2³ × 3, 30 = 2 × 3 × 5 → LCM = 2³ × 3² × 5 = 360)
2. संबंध: "दो संख्याओं का LCM 2079 और HCF 27 है; एक संख्या 189 हो तो दूसरी?" (27 × 2079 / 189 = 297)
3. शाब्दिक: "एक कमरे की लंबाई 6 m 24 cm और चौड़ाई 4 m 32 cm है; फर्श पर बिछाई जा सकने वाली सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल की भुजा?" (HCF(624, 432) = 48 cm)
4. सरलीकरण: "60 ÷ 5 × 4 + 6 − 2 का मान?" (12 × 4 + 6 − 2 = 52)
5. घातांक: "यदि 5^(x − 2) = 125 हो तो x?" (x − 2 = 3 → x = 5)
6. करणी: "1/(√7 − √6) का परिमेयीकृत रूप?" (√7 + √6)

रणनीति: शाब्दिक प्रश्न में पहले तय करें कि LCM चाहिए या HCF (साथ मिलना = LCM, सबसे बड़ा माप = HCF)। सरलीकरण में हर चरण अलग लिखें — परीक्षा में अधिकतर गलतियाँ क्रम उलटने से होती हैं। समय-सीमा में अभ्यास के लिए RRB NTPC CBT-1 2026 टेस्ट सीरीज़ हल करें।

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15. इसे आसानी से याद कैसे रखें?

1. HCF–LCM घात नियम: "महत्तम को कम, लघुत्तम को ज़्यादा" — HCF में न्यूनतम घात, LCM में अधिकतम घात।

2. भिन्नों का सूत्र: "HCF ऊपर HCF, LCM ऊपर LCM" — अंश में वही क्रिया जो पूछी गई है, हर में उसकी उलटी।

3. शाब्दिक संकेत: "मिलन = LCM, माप = HCF"।

4. VBODMAS: "रेखा, कोष्ठक, का, भाग-गुणा, जोड़-घटाव" — और भाग-गुणा, जोड़-घटाव जोड़ियों में बाएँ से दाएँ।

5. घनमूल के इकाई अंक: "2-8 और 3-7 अदला-बदली, बाकी अपने घर"।

6. पूर्ण वर्ग नहीं: "2-3-7-8 पर खत्म, तो वर्ग नहीं"।

7. शेष वाले प्रश्न: "समान शेष → अंतर का HCF; समान अंतर → LCM घटाओ"।

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16. कथन अभ्यास

दो संख्याओं का LCM × HCF उनके गुणनफल के बराबर होता है। — सही।

तीन संख्याओं का LCM × HCF उनके गुणनफल के बराबर होता है। — गलत (2, 3, 4 में 1 × 12 = 12, जबकि गुणनफल 24)।

HCF सदैव LCM का गुणनखंड होता है। — सही।

दो सह-अभाज्य संख्याओं का LCM उनका गुणनफल होता है। — सही।

भिन्नों का HCF = अंशों का LCM / हरों का HCF। — गलत (यह LCM का सूत्र है; HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM)।

16 ÷ 1/4 का 8 = 512। — गलत (उत्तर 8 है; "का" भाग से पहले)।

18 ÷ 3 × 2 = 12। — सही।

√9 + √16 = √25। — गलत (7 ≠ 5)।

27^(2/3) = 9। — सही।

3²⁰⁰, 2³⁰⁰ से बड़ा है। — सही (9¹⁰⁰ > 8¹⁰⁰)।

किसी पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक 7 हो सकता है। — गलत (पूर्ण वर्ग 2, 3, 7, 8 पर समाप्त नहीं होते)।

∛17576 = 26। — सही।

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17. एक दिन पहले — 15 रेखाएँ

1. HCF = उभयनिष्ठ गुणनखंडों की न्यूनतम घात; LCM = सभी की अधिकतम घात।
2. यूक्लिड विधि: भाग देते जाएँ, अंतिम भाजक = HCF।
3. LCM × HCF = गुणनफल — केवल दो संख्याएँ।
4. HCF, LCM का गुणनखंड होता है; न हो तो जोड़ी असंभव।
5. अनुपात a : b, HCF h → संख्याएँ ah, bh; LCM = abh।
6. भिन्न: HCF = HCF(अंश)/LCM(हर); LCM = LCM(अंश)/HCF(हर)।
7. साथ मिलना → LCM; सबसे बड़ा माप → HCF; इकाइयाँ पहले बराबर।
8. समान शेष → अंतरों का HCF; शेष r → LCM + r; समान अंतर k → LCM − k।
9. VBODMAS: रेखा → ( ) { } [ ] → का → भाग-गुणा → जोड़-घटाव।
10. 16 ÷ 1/4 का 8 = 8; 18 ÷ 3 × 2 = 12।
11. aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; a⁰ = 1; a⁻ⁿ = 1/aⁿ।
12. a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ: 27^(2/3) = 9, 16^(3/4) = 8।
13. √a × √b = √ab; √a + √b ≠ √(a + b); 1/(√3 − √2) = √3 + √2।
14. वर्ग 2, 3, 7, 8 पर समाप्त नहीं; घन में 2↔8, 3↔7।
15. सन्निकटन तभी जब विकल्प दूर-दूर हों।

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18. अभ्यास

नोट पढ़ने के बाद इस पृष्ठ के अंत में दिए 25 प्रश्नों का क्विज़ हल करें। जिन प्रश्नों में गलती हो, उनके लिए खंड 6 (शाब्दिक प्रश्न), खंड 7 (VBODMAS) और खंड 12 (Exam Traps) दोबारा पढ़ें। इसके बाद लाभ-हानि और छूट नोट पढ़ें, जहाँ यही सरलीकरण कौशल लगता है, और पूर्ण अभ्यास के लिए राजस्थान CET (स्नातक) मेगा टेस्ट सीरीज़ हल करें।

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19. निष्कर्ष: परीक्षा के लिए क्या याद रखें?

लघुत्तम-महत्तम और सरलीकरण दोनों में गति और सटीकता अभाज्य गुणनखंडन और सही क्रम पर टिकी है। HCF और LCM की परिभाषा, दो संख्याओं वाला संबंध और भिन्नों के सूत्र पक्के करें; शाब्दिक प्रश्नों में "मिलन" और "माप" के संकेत पहचानें; सरलीकरण में VBODMAS को बाएँ-से-दाएँ नियम के साथ लगाएँ। घातांक और करणी के नियम तथा 30 तक के वर्ग और 20 तक के घन याद हों, तो इस अध्याय के अधिकांश प्रश्न एक मिनट से कम में हल हो जाते हैं।

HCF न्यूनतम घात, LCM अधिकतम घात | LCM × HCF = गुणनफल (केवल 2 संख्याएँ) | भिन्न: HCF/LCM, LCM/HCF | मिलन = LCM, माप = HCF | VBODMAS बाएँ से दाएँ | aᵐaⁿ = aᵐ⁺ⁿ | √a + √b ≠ √(a + b)

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