प्रतिशत के सूत्र — भिन्न-प्रतिशत तालिका, क्रमिक परिवर्तन, जनसंख्या, कीमत-खपत व चुनाव प्रश्न — CET

संक्षिप्त उत्तर: प्रतिशत का अर्थ है "प्रति सौ", इसलिए x% = x/100, और किसी भिन्न को प्रतिशत में बदलने के लिए उसे 100 से गुणा करते हैं — जैसे 1/8 = 12.5%, 1/6 = 16⅔% और 1/7 = 14 2/7%। प्रतिशत परिवर्तन सदैव मूल मान पर निकलता है: 80 से 100 होना 25% वृद्धि है, पर 100 से 80 होना 20% कमी है; यदि A, B से r% अधिक है तो B, A से r/(100 + r) × 100 % कम है। दो क्रमिक परिवर्तनों a% और b% का शुद्ध प्रभाव a + b + ab/100 होता है (कमी को ऋणात्मक लें), इसलिए 20% वृद्धि के बाद 20% कमी से 4% शुद्ध हानि होती है, बराबर नहीं। जनसंख्या वृद्धि में P(1 + r/100)ⁿ और मूल्य ह्रास में P(1 − r/100)ⁿ लगता है। खर्च समान रखने के लिए कीमत r% बढ़ने पर खपत r/(100 + r) × 100 % घटानी पड़ती है — कीमत 25% बढ़े तो खपत 20% घटे। चुनाव में दो उम्मीदवारों के बीच जीत का अंतर = (विजेता% − पराजित%) × वैध मत और परीक्षा में दो छात्रों के अंकों का अंतर ही प्रतिशत के अंतर के बराबर होता है। एक उपयोगी तथ्य: y का x% = x का y%, जैसे 50 का 8% = 8 का 50% = 4।

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संक्षिप्त उत्तर

सूत्र / तथ्य	मान
x%	x/100
भिन्न → प्रतिशत	भिन्न × 100
A, B का कितना प्रतिशत है	(A/B) × 100
प्रतिशत परिवर्तन	(परिवर्तन / मूल मान) × 100
A, B से r% अधिक → B, A से कितना कम	r/(100 + r) × 100
A, B से r% कम → B, A से कितना अधिक	r/(100 − r) × 100
क्रमिक परिवर्तन a%, b%	a + b + ab/100
+20% फिर −20%	−4% (शुद्ध कमी)
+10% फिर +20%	+32%
जनसंख्या n वर्ष बाद	P(1 + r/100)ⁿ
जनसंख्या n वर्ष पहले	P / (1 + r/100)ⁿ
मूल्य ह्रास n वर्ष बाद	P(1 − r/100)ⁿ
कीमत r% बढ़े, खर्च समान → खपत में कमी	r/(100 + r) × 100
कीमत r% घटे, खर्च समान → खपत में वृद्धि	r/(100 − r) × 100
कीमत 25% बढ़े	खपत 20% घटे
y का x%	x का y%
वर्ग की भुजा 10% बढ़े	क्षेत्रफल 21% बढ़े

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2. सिलेबस में यह टॉपिक क्यों महत्वपूर्ण है?

प्रतिशत वाणिज्यिक गणित का केंद्र है। लाभ-हानि, छूट, साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज, अनुपात-समानुपात और आँकड़ा विश्लेषण (DI) — सब प्रतिशत की भाषा में ही पूछे जाते हैं। राजस्थान CET, पटवारी और VDO में प्रतिशत से जनसंख्या, चुनाव, परीक्षा और वेतन वाले सीधे प्रश्न आते हैं, जबकि SSC और रेलवे में क्रमिक परिवर्तन, कीमत-खपत और भिन्न-प्रतिशत रूपांतरण पर आधारित तेज़ गणना वाले प्रश्न प्रमुख हैं। इसके बाद अगला अध्याय लाभ-हानि और छूट है, जो पूरी तरह इन्हीं सूत्रों पर टिका है।

परीक्षा उपयोगिता: ★★★★★

• राजस्थान CET (12वीं व स्नातक) / पटवारी / VDO — जनसंख्या, चुनाव, परीक्षा उत्तीर्णता, वेतन-व्यय
• SSC CGL / CHSL / MTS / GD — क्रमिक परिवर्तन, कीमत-खपत, "r% अधिक तो कितना कम", क्षेत्रफल परिवर्तन
• RRB NTPC — भिन्न-प्रतिशत तालिका, सरल प्रतिशत गणना, ह्रास और वृद्धि

प्रश्न कैसे आते हैं?

1. सीधी गणना — "किसी संख्या का 40% = 120, संख्या?"
2. तुलना — "A की आय B से 25% अधिक है; B की आय A से कितनी कम?"
3. क्रमिक परिवर्तन — वेतन, कीमत या जनसंख्या में दो बार परिवर्तन
4. कीमत-खपत — खर्च स्थिर रखने के लिए खपत में परिवर्तन
5. चुनाव व परीक्षा — कुल मत या अधिकतम अंक ज्ञात करना

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3. भिन्न प्रतिशत तालिका (1/2 से 1/20)

भिन्न	प्रतिशत (भिन्न रूप)	प्रतिशत (दशमलव लगभग)
1/2	50%	50
1/3	33⅓%	33.33
1/4	25%	25
1/5	20%	20
1/6	16⅔%	16.67
1/7	14 2/7%	14.29
1/8	12½%	12.5
1/9	11 1/9%	11.11
1/10	10%	10
1/11	9 1/11%	9.09
1/12	8⅓%	8.33
1/13	7 9/13%	7.69
1/14	7 1/7%	7.14
1/15	6⅔%	6.67
1/16	6¼%	6.25
1/17	5 15/17%	5.88
1/18	5 5/9%	5.56
1/19	5 5/19%	5.26
1/20	5%	5

3.1 गुणजों से बने उपयोगी मान

भिन्न	प्रतिशत	भिन्न	प्रतिशत
2/3	66⅔%	3/8	37½%
3/4	75%	5/8	62½%
5/6	83⅓%	7/8	87½%
2/5	40%	2/7	28 4/7%
3/5	60%	2/9	22 2/9%
4/5	80%	5/12	41⅔%

उपयोग: 12.5% की वृद्धि = मूल का 1/8 जोड़ना। 640 में 12.5% वृद्धि → 640 + 80 = 720। तालिका याद हो तो ऐसे प्रश्न बिना गुणा किए हल होते हैं।

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4. मूल प्रतिशत गणना

प्रश्न	हल	उत्तर
किसी संख्या का 40% = 120; संख्या?	120 × 100/40	300
20, 80 का कितना प्रतिशत है?	(20/80) × 100	25%
80, 20 का कितना प्रतिशत है?	(80/20) × 100	400%
450 का 16⅔%	450 × 1/6	75
किसी संख्या का 3/5 का 20% = 36; संख्या?	संख्या × 3/5 × 1/5 = 36 → संख्या × 3/25 = 36	300

4.1 y का x% = x का y%

क्योंकि (x/100) × y = (y/100) × x। कठिन दिखने वाली गणना इससे आसान हो जाती है:

कठिन रूप	आसान रूप	उत्तर
50 का 8%	8 का 50%	4
25 का 36%	36 का 25%	9
50 का 18%	18 का 50%	9
25 का 64%	64 का 25%	16

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5. प्रतिशत वृद्धि और कमी

5.1 मूल मान पर ही प्रतिशत

परिवर्तन	गणना	उत्तर
80 से 100	(20/80) × 100	25% वृद्धि
100 से 80	(20/100) × 100	20% कमी
250 से 300	(50/250) × 100	20% वृद्धि
1200 में 15% वृद्धि	1200 × 1.15	1380
1500 में 12% कमी	1500 × 0.88	1320

5.2 "r% अधिक तो कितना कम" — तुलना का सूत्र

स्थिति	सूत्र	उदाहरण	उत्तर
A, B से r% अधिक; B, A से कितना कम?	r/(100 + r) × 100	r = 25	25/125 × 100 = 20%
A, B से r% कम; B, A से कितना अधिक?	r/(100 − r) × 100	r = 20	20/80 × 100 = 25%
A, B से 50% अधिक; B, A से कम	50/150 × 100	—	33⅓%
A, B से 20% अधिक; B, A से कम	20/120 × 100	—	16⅔%

भिन्न वाली ट्रिक: r% = 1/n हो तो उल्टी दिशा में उत्तर 1/(n + 1) (अधिक → कम) या 1/(n − 1) (कम → अधिक)। जैसे 25% = 1/4 अधिक → 1/5 = 20% कम। शर्त: यह तभी सीधे लगती है जब प्रतिशत को 1/n रूप में लिखा जा सके।

5.3 प्रतिशत बनाम प्रतिशत अंक

ब्याज दर 10% से 12% हो जाए तो वृद्धि 2 प्रतिशत अंक है, पर प्रतिशत वृद्धि (2/10) × 100 = 20% है। प्रश्न में "प्रतिशत अंक" और "प्रतिशत" का अंतर ध्यान से पढ़ें।

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6. क्रमिक (Successive) प्रतिशत परिवर्तन

6.1 सूत्र और शर्त

शुद्ध परिवर्तन = a + b + ab/100 — वृद्धि को धनात्मक और कमी को ऋणात्मक लें। शर्त: दूसरा परिवर्तन पहले परिवर्तन के बाद वाले नए मान पर हो। यदि दोनों परिवर्तन मूल मान पर ही हों, तो सीधे a + b लगेगा।

a	b	गणना	शुद्ध परिवर्तन
+10	+20	10 + 20 + 200/100	+32%
+20	−20	20 − 20 − 400/100	−4%
+10	−10	10 − 10 − 100/100	−1%
−10	−20	−10 − 20 + 200/100	−28%
+20	−10	20 − 10 − 200/100	+8%
+10	+10	10 + 10 + 100/100	+21%

तीन परिवर्तन: पहले दो का शुद्ध प्रभाव निकालें, फिर उसे तीसरे के साथ सूत्र में लगाएँ। तीन बार 10% वृद्धि: 10, 10 → 21; फिर 21, 10 → 21 + 10 + 2.1 = 33.1% (जाँच: 1.1³ = 1.331)।

6.2 गुणक विधि (वैकल्पिक, अधिक सुरक्षित)

परिवर्तन	गुणक
+20%	1.20 (या 6/5)
−20%	0.80 (या 4/5)
+25%	1.25 (या 5/4)
−12.5%	0.875 (या 7/8)

उदाहरण: वेतन 20% बढ़कर फिर 20% घटा और अब ₹9600 है; मूल वेतन = 9600 / (1.2 × 0.8) = 9600 / 0.96 = ₹10000।

6.3 क्षेत्रफल पर प्रभाव

परिवर्तन	गणना	क्षेत्रफल में परिवर्तन
वर्ग की भुजा +10%	10 + 10 + 1	+21%
आयत की लंबाई +20%, चौड़ाई −10%	20 − 10 − 2	+8%
वृत्त की त्रिज्या −10%	−10 − 10 + 1	−19%

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7. जनसंख्या वृद्धि और मूल्य ह्रास

प्रश्न	सूत्र	गणना	उत्तर
जनसंख्या 10000, वृद्धि 10% वार्षिक; 2 वर्ष बाद?	P(1 + r/100)ⁿ	10000 × 1.1 × 1.1	12100
वर्तमान जनसंख्या 13310, वृद्धि 10% वार्षिक; 3 वर्ष पहले?	P/(1 + r/100)ⁿ	13310 / 1.331	10000
मशीन ₹50000, ह्रास 10% वार्षिक; 2 वर्ष बाद मूल्य?	P(1 − r/100)ⁿ	50000 × 0.9 × 0.9	₹40500
जनसंख्या 20000; पहले वर्ष +10%, दूसरे वर्ष −5%	P(1 + r₁/100)(1 − r₂/100)	20000 × 1.1 × 0.95	20900

शर्त: सूत्र तब है जब हर वर्ष की वृद्धि/ह्रास पिछले वर्ष के नए मान पर हो (चक्रवृद्धि जैसा)। यदि प्रश्न कहे कि हर वर्ष मूल जनसंख्या का r% बढ़ता है, तो सीधे P(1 + nr/100) लगेगा। यही ढाँचा साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज में भी है।

7.1 मूल्य ह्रास — चरणबद्ध तालिका

वर्ष	प्रारंभिक मूल्य	10% ह्रास	वर्ष के अंत में मूल्य
1	₹50000	₹5000	₹45000
2	₹45000	₹4500	₹40500
3	₹40500	₹4050	₹36450

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8. कीमत और खपत (खर्च स्थिर)

8.1 मूल संबंध

खर्च = कीमत × खपत। खर्च स्थिर रहे तो कीमत और खपत व्युत्क्रमानुपाती होते हैं।

कीमत में परिवर्तन	सूत्र	खपत में परिवर्तन
+25%	25/125 × 100	−20%
+20%	20/120 × 100	−16⅔%
+50%	50/150 × 100	−33⅓%
−20%	20/80 × 100	+25%
−25%	25/75 × 100	+33⅓%

शर्त: ये सूत्र केवल तब हैं जब खर्च अपरिवर्तित रहे। यदि कीमत और खपत दोनों दिए हों, तो खर्च में परिवर्तन क्रमिक सूत्र से निकालें: कीमत +20%, खपत −10% → खर्च 20 − 10 − 2 = +8%।

8.2 "उतने ही पैसों में अधिक मात्रा" — चरणबद्ध

प्रश्न: चीनी की कीमत 20% घटने से एक व्यक्ति ₹600 में 5 kg अधिक चीनी खरीद पाता है। घटी हुई और मूल कीमत ज्ञात करें।

1. कीमत 20% घटने से ₹600 का 20% = ₹120 "बचा", और इसी से 5 kg अधिक आई।
2. घटी हुई कीमत = 120 / 5 = ₹24 प्रति kg।
3. मूल कीमत: 24 = मूल × 0.8 → मूल = ₹30 प्रति kg।
4. जाँच: 600/30 = 20 kg, 600/24 = 25 kg → अंतर 5 kg ✓

शॉर्टकट: घटी कीमत = (r% × कुल राशि) / अतिरिक्त मात्रा। शर्त: खर्च की गई कुल राशि दोनों स्थितियों में समान हो।

8.3 आय, व्यय और बचत

प्रश्न: एक व्यक्ति आय का 75% खर्च करता है। आय 20% और व्यय 10% बढ़े, तो बचत कितने प्रतिशत बढ़ेगी?

मद	पहले	बाद में
आय	100	120
व्यय	75	75 × 1.1 = 82.5
बचत	25	37.5
बचत में वृद्धि	—	(12.5/25) × 100 = 50%

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9. चुनाव वाले प्रश्न

प्रश्न	हल (चरण)	उत्तर
दो उम्मीदवार; विजेता को 60% मत मिले और वह 1200 मतों से जीता। कुल मत?	अंतर = 60 − 40 = 20%; 20% = 1200 → 100% = 6000	6000 (विजेता 3600, पराजित 2400)
विजेता को 62% मत मिले, 144 मतों से जीता; कुल मत?	62 − 38 = 24%; 24% = 144	600
20% मत अवैध; विजेता को वैध मतों का 55% मिला और वह 2000 से जीता; कुल मत?	वैध मतों में अंतर 55 − 45 = 10%; वैध = 20000; कुल का 80% = 20000	25000

शर्त: "अंतर = (विजेता% − पराजित%)" वाली विधि केवल दो उम्मीदवारों और सभी वैध मत उन्हीं में बँटे होने पर है। अवैध मत हों तो पहले यह तय करें कि प्रतिशत कुल मतों का है या वैध मतों का।

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10. परीक्षा उत्तीर्णता वाले प्रश्न

10.1 दो छात्रों वाला प्रश्न — चरणबद्ध

प्रश्न: एक छात्र 30% अंक पाकर 15 अंकों से अनुत्तीर्ण होता है, दूसरा 40% अंक पाकर उत्तीर्ण अंकों से 35 अधिक पाता है। अधिकतम अंक और उत्तीर्ण प्रतिशत?

1. दोनों के अंकों का अंतर = 15 + 35 = 50 अंक।
2. प्रतिशत का अंतर = 40 − 30 = 10%।
3. 10% = 50 → अधिकतम अंक = 500।
4. उत्तीर्ण अंक = 500 का 30% + 15 = 150 + 15 = 165 (जाँच: 200 − 35 = 165 ✓)।
5. उत्तीर्ण प्रतिशत = 165/500 × 100 = 33%।

नियम: एक अनुत्तीर्ण और एक उत्तीर्ण हो तो अंक जोड़ें; दोनों अनुत्तीर्ण (या दोनों उत्तीर्ण) हों तो अंक घटाएँ।

10.2 दो विषयों में अनुत्तीर्णता (समुच्चय)

प्रश्न: 35% छात्र हिंदी में, 45% अंग्रेज़ी में और 20% दोनों में अनुत्तीर्ण हुए। दोनों में उत्तीर्ण कितने प्रतिशत?

चरण	गणना
कम से कम एक में अनुत्तीर्ण	35 + 45 − 20 = 60%
दोनों में उत्तीर्ण	100 − 60 = 40%
यदि दोनों में उत्तीर्ण छात्र 400 हों	कुल छात्र = 400 × 100/40 = 1000

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11. अन्य महत्वपूर्ण प्रकार — हल किए गए उदाहरण

11.1 मिश्रण में प्रतिशत — जो घटक नहीं बदलता, उसे पकड़ें

प्रश्न	स्थिर घटक	हल	उत्तर
40 L दूध-पानी मिश्रण में 10% पानी है; पानी 20% करने के लिए कितना पानी मिलाएँ?	दूध = 36 L	36 = नए मिश्रण का 80% → नया मिश्रण 45 L	5 L पानी
60 L घोल में 20% नमक है; नमक 30% करने के लिए कितना पानी वाष्पित करें?	नमक = 12 L	12 = नए घोल का 30% → नया घोल 40 L	20 L पानी
ताज़े फल में 68% पानी, सूखे फल में 20% पानी; 100 kg ताज़े फल से कितना सूखा फल?	गूदा = 32 kg	32 = सूखे फल का 80% → 32/0.8	40 kg

नियम: पानी मिलाने या सुखाने में जो पदार्थ नहीं बदलता (दूध, नमक, गूदा), उसी की मात्रा को नए प्रतिशत के बराबर रखें। शर्त: केवल एक ही घटक जोड़ा या हटाया जाए।

11.2 दो संख्याओं के प्रतिशत की बराबरी

प्रश्न	हल	उत्तर
A का 20% = B का 30%; A : B?	0.2A = 0.3B → A/B = 30/20	3 : 2
उसी प्रश्न में A, B का कितना प्रतिशत है?	(3/2) × 100	150%
A का 60% = B का 75%; A, B से कितना प्रतिशत अधिक?	A/B = 75/60 = 1.25	25% अधिक

शॉर्टकट: A का x% = B का y% हो, तो A : B = y : x (प्रतिशत उल्टे क्रम में)।

11.3 मतदाता सूची वाला बहु-चरणीय प्रश्न

प्रश्न: 10% मतदाताओं ने मत नहीं डाला, डाले गए मतों में 10% अवैध थे। दो उम्मीदवारों में विजेता को वैध मतों का 54% मिला और वह 1620 मतों से जीता। मतदाता सूची में कुल कितने मतदाता थे?

1. माना कुल मतदाता T। डाले गए मत = 0.9T।
2. वैध मत = 0.9 × 0.9T = 0.81T।
3. जीत का अंतर = (54 − 46)% = वैध मतों का 8% = 0.08 × 0.81T = 0.0648T।
4. 0.0648T = 1620 → T = 25000।
5. जाँच: वैध मत 20250; विजेता 10935, पराजित 9315; अंतर 1620 ✓

11.4 आय का क्रमिक बँटवारा

प्रश्न: एक व्यक्ति आय का 20% किराये पर, शेष का 50% भोजन पर और फिर बचे हुए का 40% यात्रा पर खर्च करता है। उसके पास ₹4800 बचते हैं। उसकी आय?

चरण	बचा हुआ भाग (आय के रूप में)
किराये के बाद	0.8
भोजन के बाद	0.8 × 0.5 = 0.4
यात्रा के बाद	0.4 × 0.6 = 0.24
0.24 × आय = 4800	आय = ₹20000

ध्यान दें: "शेष का" शब्द आए तो प्रतिशत घटते मान पर लगता है, इसलिए खर्चे सीधे नहीं जोड़े जाते (20 + 50 + 40 = 110% बेतुका उत्तर देता है)।

11.5 गुणक तालिका — एक नज़र में

परिवर्तन	गुणक (दशमलव)	गुणक (भिन्न)
+5%	1.05	21/20
+10%	1.10	11/10
+12.5%	1.125	9/8
+16⅔%	1.1667	7/6
+33⅓%	1.3333	4/3
−10%	0.90	9/10
−16⅔%	0.8333	5/6
−25%	0.75	3/4
−33⅓%	0.6667	2/3

उपयोग: 1200 में 16⅔% वृद्धि = 1200 × 7/6 = 1400; 1800 में 33⅓% कमी = 1800 × 2/3 = 1200।

11.6 प्रश्न-पहचान तालिका — कौन-सा सूत्र कब

प्रश्न में संकेत	सूत्र / विधि
"…से r% अधिक/कम है, तो … कितना कम/अधिक"	r/(100 ± r) × 100
"पहले … फिर …" (दो परिवर्तन)	a + b + ab/100 या गुणक
"प्रति वर्ष बढ़ती / घटती है"	P(1 ± r/100)ⁿ
"खर्च वही रहे"	खपत में परिवर्तन r/(100 ± r) × 100
"उतने ही रुपयों में … kg अधिक"	(r% × राशि) / अतिरिक्त मात्रा
"… मतों से जीता"	(विजेता% − पराजित%) × वैध मत
"… अंकों से अनुत्तीर्ण / … अंक अधिक"	अंकों का अंतर = प्रतिशत का अंतर × अधिकतम अंक
"पानी मिलाया / सुखाया"	स्थिर घटक की मात्रा बराबर रखें
"शेष का …%"	बचे भागों का क्रमिक गुणा

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12. परीक्षा में कौन-सी गलतियाँ होती हैं? (Exam Trap)

Trap 1: वृद्धि और कमी बराबर मानना

"20% बढ़ाकर 20% घटाने पर मान वही रहता है" — गलत। 100 → 120 → 96, यानी 4% शुद्ध कमी।

Trap 2: तुलना में आधार बदलना

A, B से 25% अधिक है तो B, A से 25% नहीं, 20% कम है — क्योंकि अब आधार A है।

Trap 3: प्रतिशत अंक बनाम प्रतिशत

10% से 12% = 2 प्रतिशत अंक की वृद्धि, पर 20% की प्रतिशत वृद्धि।

Trap 4: जनसंख्या में n × r लगाना

10% वार्षिक वृद्धि पर 2 वर्ष में 20% नहीं, 21% वृद्धि होती है (जब वृद्धि हर वर्ष नए मान पर हो)।

Trap 5: कीमत-खपत में उल्टा सूत्र

कीमत 25% बढ़े तो खपत 25% नहीं, 20% घटानी होगी; कीमत 20% घटे तो खपत 25% बढ़ सकती है।

Trap 6: चुनाव में अवैध मत भूलना

यदि प्रतिशत वैध मतों पर है, तो पहले वैध मत निकालें, फिर कुल मत। 20% अवैध हों तो वैध = कुल का 80%।

Trap 7: परीक्षा प्रश्न में अंक जोड़ना या घटाना

एक छात्र "x से अनुत्तीर्ण" और दूसरा "y अधिक" हो तो अंतर x + y; दोनों अनुत्तीर्ण हों तो अंतर x − y।

Trap 8: 1/7 = 14%

1/7 = 14 2/7% ≈ 14.29%, केवल 14% नहीं। पास-पास विकल्पों में यह अंतर निर्णायक होता है।

Trap 9: "शेष का" प्रतिशत सीधे जोड़ना

20% किराया, शेष का 50% भोजन और बचे का 40% यात्रा — कुल खर्च 110% नहीं। बचे भागों को गुणा करें: 0.8 × 0.5 × 0.6 = 0.24, अर्थात 24% बचत।

Trap 10: मिश्रण में पूरी मात्रा पर नया प्रतिशत लगाना

40 L मिश्रण में पानी 10% से 20% करना हो तो "40 का 10% = 4 L और मिलाओ" गलत है। स्थिर घटक (36 L दूध) को नए मिश्रण का 80% मानें → 45 L, यानी केवल 5 L पानी मिलाना है।

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13. Most-Asked रिवीज़न तालिका (56 तथ्य)

क्रम	प्रश्न	उत्तर
1	1/3 प्रतिशत में	33⅓%
2	1/6 प्रतिशत में	16⅔%
3	1/7 प्रतिशत में	14 2/7%
4	1/8 प्रतिशत में	12½%
5	1/9 प्रतिशत में	11 1/9%
6	1/11 प्रतिशत में	9 1/11%
7	1/12 प्रतिशत में	8⅓%
8	1/15 प्रतिशत में	6⅔%
9	1/16 प्रतिशत में	6¼%
10	3/8 प्रतिशत में	37½%
11	5/6 प्रतिशत में	83⅓%
12	7/8 प्रतिशत में	87½%
13	40% = 120 तो संख्या	300
14	20, 80 का कितना %	25%
15	80, 20 का कितना %	400%
16	50 का 8%	4
17	25 का 36%	9
18	80 से 100 में % वृद्धि	25%
19	100 से 80 में % कमी	20%
20	A, B से 25% अधिक; B, A से कम	20%
21	A, B से 20% कम; B, A से अधिक	25%
22	A, B से 50% अधिक; B, A से कम	33⅓%
23	क्रमिक परिवर्तन का सूत्र	a + b + ab/100
24	+10%, +20%	+32%
25	+20%, −20%	−4%
26	+10%, −10%	−1%
27	−10%, −20%	−28%
28	तीन बार +10%	+33.1%
29	वर्ग की भुजा +10% → क्षेत्रफल	+21%
30	लंबाई +20%, चौड़ाई −10% → क्षेत्रफल	+8%
31	त्रिज्या −10% → वृत्त का क्षेत्रफल	−19%
32	10% से 12% ब्याज दर — प्रतिशत वृद्धि	20%
33	जनसंख्या 10000, 10% वार्षिक, 2 वर्ष	12100
34	13310, 10% वार्षिक, 3 वर्ष पहले	10000
35	₹50000, 10% ह्रास, 2 वर्ष	₹40500
36	20000, +10% फिर −5%	20900
37	कीमत +25%, खर्च समान → खपत	−20%
38	कीमत +20%, खर्च समान → खपत	−16⅔%
39	कीमत −20%, खर्च समान → खपत	+25%
40	कीमत +20%, खपत −10% → खर्च	+8%
41	कीमत 20% घटी, ₹600 में 5 kg अधिक → घटी कीमत	₹24/kg
42	उसी प्रश्न में मूल कीमत	₹30/kg
43	वेतन +20% फिर −20% = ₹9600 → मूल	₹10000
44	75% व्यय; आय +20%, व्यय +10% → बचत	+50%
45	विजेता 60%, अंतर 1200 → कुल मत	6000
46	विजेता 62%, अंतर 144 → कुल मत	600
47	20% अवैध, 55% वैध मत, अंतर 2000 → कुल	25000
48	30% पर 15 से फेल, 40% पर 35 अधिक → अधिकतम अंक	500
49	उसी प्रश्न में उत्तीर्ण प्रतिशत	33%
50	35% हिंदी, 45% अंग्रेज़ी, 20% दोनों में फेल → दोनों में पास	40%
51	40 L मिश्रण, 10% पानी → 20% करने को पानी	5 L
52	60 L घोल, 20% नमक → 30% करने को वाष्पन	20 L
53	100 kg ताज़ा फल (68% पानी) → सूखा (20% पानी)	40 kg
54	A का 20% = B का 30% → A : B	3 : 2
55	A का x% = B का y% → A : B	y : x
56	20%, शेष का 50%, फिर 40% खर्च; बचे ₹4800 → आय	₹20000

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14. परीक्षा में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

इस अध्याय के प्रश्न प्रायः छह ढाँचों में आते हैं। हर ढाँचे के लिए एक नमूना (स्वयं बनाया गया) प्रश्न:

1. सीधी गणना: "किसी संख्या का 3/5 का 20% = 36; संख्या?" (संख्या × 3/25 = 36 → 300)
2. तुलना: "राम का वेतन श्याम से 50% अधिक है; श्याम का वेतन राम से कितने प्रतिशत कम है?" (50/150 × 100 = 33⅓%)
3. क्रमिक परिवर्तन: "किसी वस्तु की कीमत 10% बढ़ी, फिर 10% घटी; शुद्ध परिवर्तन?" (−1%)
4. जनसंख्या: "एक कस्बे की जनसंख्या 8000 है और 5% वार्षिक बढ़ती है; 2 वर्ष बाद?" (8000 × 1.05² = 8820)
5. कीमत-खपत: "पेट्रोल की कीमत 25% बढ़ी; खर्च वही रखने के लिए खपत कितनी घटाएँ?" (20%)
6. चुनाव/परीक्षा: "विजेता को 58% मत मिले और वह 480 मतों से जीता; कुल मत?" (16% = 480 → 3000)

रणनीति: हर प्रश्न में पहले "आधार" (100% किसे मानना है) तय करें। क्रमिक परिवर्तन और कीमत-खपत के प्रश्न 100 को आधार मानकर सबसे तेज़ हल होते हैं। समयबद्ध अभ्यास के लिए SSC CGL 2026 टेस्ट सीरीज़ हल करें।

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15. इसे आसानी से याद कैसे रखें?

1. आधार नियम: "जिससे तुलना, वही सौ" — "A, B से अधिक" में B = 100।

2. उल्टी तुलना: "अधिक से कम — हर में जोड़ो; कम से अधिक — हर में घटाओ" → r/(100 + r) और r/(100 − r)।

3. क्रमिक परिवर्तन: "a जोड़ b, ऊपर से ab का सौवाँ"।

4. बराबर बढ़-घट: "x% बढ़ा, x% घटा → x²/100 % घटा" — 20% पर 4%, 10% पर 1%।

5. 1/n जोड़ी: "1/4 अधिक ↔ 1/5 कम", "1/5 कम ↔ 1/4 अधिक"।

6. परीक्षा प्रश्न: "एक फेल, एक पास — जोड़ो"।

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16. कथन अभ्यास

किसी मान को 20% बढ़ाकर फिर 20% घटाने पर मूल मान वापस मिलता है। — गलत (4% की शुद्ध कमी होती है)।

यदि A, B से 25% अधिक है, तो B, A से 20% कम है। — सही।

1/8 = 12.5%। — सही।

1/7 = 14%। — गलत (1/7 = 14 2/7% ≈ 14.29%)।

50 का 8% और 8 का 50% बराबर हैं। — सही (दोनों 4)।

10% वार्षिक वृद्धि पर 2 वर्ष में जनसंख्या 20% बढ़ती है। — गलत (21%, जब वृद्धि हर वर्ष नए मान पर हो)।

कीमत 25% बढ़ने पर खर्च समान रखने के लिए खपत 20% घटानी होगी। — सही।

ब्याज दर 10% से 12% होना 2% की प्रतिशत वृद्धि है। — गलत (2 प्रतिशत अंक, पर 20% प्रतिशत वृद्धि)।

वर्ग की भुजा 10% बढ़ने पर क्षेत्रफल 21% बढ़ता है। — सही।

10% और 20% की क्रमिक वृद्धि का शुद्ध प्रभाव 30% है। — गलत (32%)।

दो उम्मीदवारों में विजेता को 60% मत मिलें और वह 1200 से जीते, तो कुल मत 6000 हैं। — सही।

यदि A का 20% = B का 30% हो, तो A : B = 2 : 3। — गलत (A : B = 3 : 2; प्रतिशत उल्टे क्रम में)।

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17. एक दिन पहले — 14 रेखाएँ

1. x% = x/100; भिन्न × 100 = प्रतिशत।
2. 1/6 = 16⅔%, 1/7 = 14 2/7%, 1/8 = 12½%, 1/9 = 11 1/9%, 1/11 = 9 1/11%।
3. प्रतिशत परिवर्तन = परिवर्तन / मूल × 100।
4. r% अधिक → r/(100 + r) कम; r% कम → r/(100 − r) अधिक।
5. क्रमिक: a + b + ab/100 (कमी ऋणात्मक)।
6. x% बढ़ा फिर x% घटा → x²/100 % की कमी।
7. तीन बार 10% → 33.1%।
8. जनसंख्या P(1 + r/100)ⁿ; ह्रास P(1 − r/100)ⁿ।
9. पहले की जनसंख्या = P / (1 + r/100)ⁿ।
10. खर्च स्थिर: कीमत 25%↑ → खपत 20%↓; कीमत 20%↓ → खपत 25%↑।
11. घटी कीमत = (r% × राशि) / अतिरिक्त मात्रा।
12. चुनाव: अंतर% × वैध मत = मतों का अंतर।
13. परीक्षा: एक फेल एक पास → अंक जोड़ें; % का अंतर उतने अंकों के बराबर।
14. y का x% = x का y%।

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18. अभ्यास

नोट पढ़ने के बाद इस पृष्ठ के अंत में दिए 25 प्रश्नों का क्विज़ हल करें। जिन प्रश्नों में गलती हो, उनके लिए खंड 5 (तुलना), खंड 6 (क्रमिक परिवर्तन) और खंड 12 (Exam Traps) दोबारा पढ़ें। गणना की गति के लिए सरलीकरण और घातांक नोट भी दोहराएँ, और परीक्षा-स्तर के अभ्यास के लिए राजस्थान पटवारी 2026 टेस्ट सीरीज़ हल करें।

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19. निष्कर्ष: परीक्षा के लिए क्या याद रखें?

प्रतिशत का हर प्रश्न एक ही सवाल पर टिका है — 100% किसे माना जाए। भिन्न-प्रतिशत तालिका याद करने से गणना तेज़ होती है, तुलना वाले सूत्र r/(100 ± r) से आधार बदलने की गलती रुकती है, और a + b + ab/100 से क्रमिक परिवर्तन, क्षेत्रफल और कीमत-खपत के प्रश्न एक ही ढाँचे में आ जाते हैं। चुनाव और परीक्षा के प्रश्नों में प्रतिशत के अंतर को अंकों या मतों के अंतर से मिलाएँ। यही कौशल आगे लाभ-हानि, छूट और ब्याज में सीधे काम आता है।

जिससे तुलना वही 100 | r% अधिक → r/(100 + r) कम | क्रमिक a + b + ab/100 | ±x% → x²/100 % हानि | P(1 ± r/100)ⁿ | कीमत 25%↑ → खपत 20%↓ | y का x% = x का y%

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