औसत, आयु और मिश्रण — क्रमागत संख्याएँ, औसत चाल, बल्लेबाज़ी औसत, एलिगेशन, प्रतिस्थापन — CET

संक्षिप्त उत्तर: औसत = सभी राशियों का योग ÷ राशियों की संख्या, इसलिए योग = औसत × संख्या — औसत के लगभग हर प्रश्न का आधार यही एक पंक्ति है। समांतर (consecutive) संख्याओं का औसत (पहला पद + अंतिम पद)/2 होता है: पहली n प्राकृत संख्याओं का औसत (n + 1)/2, पहली n सम संख्याओं का n + 1 और पहली n विषम संख्याओं का n। किसी सदस्य के जुड़ने पर उसका मान = नया औसत + (पुरानी संख्या × औसत में परिवर्तन), और किसी को बदलने पर नया सदस्य = पुराना सदस्य + (संख्या × औसत में वृद्धि)। समान दूरी अलग-अलग चालों x और y से तय हो तो औसत चाल 2xy/(x + y) होती है, (x + y)/2 नहीं; समान समय तक चलने पर ही औसत चाल (x + y)/2 होती है। आयु के प्रश्नों में दो व्यक्तियों की आयु का अंतर हमेशा स्थिर रहता है, और "n वर्ष पहले/बाद" में दोनों की आयु में n घटाया/जोड़ा जाता है। एलिगेशन (Alligation) नियम: सस्ती मात्रा : महँगी मात्रा = (महँगा मूल्य − माध्य मूल्य) : (माध्य मूल्य − सस्ता मूल्य)। x लीटर द्रव में से y लीटर निकालकर पानी भरने की क्रिया n बार दोहराने पर बचा शुद्ध द्रव = x(1 − y/x)ⁿ होता है।

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संक्षिप्त उत्तर

स्थिति	सूत्र / नियम
औसत	योग / संख्या
योग	औसत × संख्या
समांतर श्रेणी का औसत	(पहला + अंतिम)/2
पहली n प्राकृत संख्याएँ	(n + 1)/2
पहली n सम संख्याएँ	n + 1
पहली n विषम संख्याएँ	n
पहली n प्राकृत संख्याओं के वर्ग	(n + 1)(2n + 1)/6
नया सदस्य जुड़ा	नया औसत + n × (औसत में वृद्धि)
एक सदस्य बदला	नया = पुराना + n × (औसत में वृद्धि)
गलत लिखा मान	सही औसत = पुराना औसत + (सही − गलत)/n
समान दूरी, चाल x और y	औसत चाल = 2xy/(x + y)
समान दूरी, तीन चालें	3xyz/(xy + yz + zx)
समान समय, चाल x और y	(x + y)/2
भारित औसत	(n₁a₁ + n₂a₂)/(n₁ + n₂)
आयु का अंतर	हमेशा स्थिर
एलिगेशन	सस्ता : महँगा = (महँगा − माध्य) : (माध्य − सस्ता)
प्रतिस्थापन (Replacement)	बचा शुद्ध द्रव = x(1 − y/x)ⁿ

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2. सिलेबस में यह टॉपिक क्यों महत्वपूर्ण है?

औसत, आयु और मिश्रण तीनों एक ही विचार पर टिके हैं — "योग = औसत × संख्या" और "भारित औसत"। आयु के प्रश्न सीधे अनुपात व समानुपात की भाग-विधि से हल होते हैं, औसत चाल का सूत्र समय-दूरी-चाल में बार-बार लगता है, और एलिगेशन नियम मिश्रण के साथ-साथ लाभ-हानि के मिश्रित प्रश्नों में भी काम आता है।

परीक्षा उपयोगिता: ★★★★★

• राजस्थान CET (12वीं व स्नातक) — क्रमागत संख्याओं का औसत, सदस्य जुड़ना-हटना, आयु अनुपात
• पटवारी / VDO — गलत लिखा मान, औसत आयु, सरल एलिगेशन (दूध-पानी, चावल-दाल)
• SSC CGL / CHSL / MTS / GD — बल्लेबाज़ी औसत, औसत चाल, प्रतिस्थापन सूत्र, मिश्रण बेचकर लाभ
• RRB NTPC — भारित औसत, आयु के अनुपात, सीधे एलिगेशन

प्रश्न कैसे आते हैं?

1. क्रमागत संख्याओं का औसत या सबसे बड़ी/छोटी संख्या
2. सदस्य (शिक्षक, नया छात्र) जुड़ना, हटना, बदलना
3. गलत पढ़ा या लिखा गया मान
4. बल्लेबाज़ी/गेंदबाज़ी औसत
5. औसत चाल
6. वर्तमान, भूत और भविष्य की आयु के अनुपात
7. एलिगेशन से मिश्रण का अनुपात, मिश्रण बेचकर लाभ
8. बार-बार निकालकर पानी भरना (प्रतिस्थापन)

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3. औसत — मूल नियम

गुण	व्याख्या
सबसे छोटे और सबसे बड़े के बीच	औसत हमेशा न्यूनतम और अधिकतम मान के बीच होता है
हर मान में k जोड़ें	औसत में भी k जुड़ता है
हर मान को k से गुणा करें	औसत भी k गुना होता है
विचलन का योग	औसत से सभी मानों के विचलनों का योग शून्य होता है
समांतर श्रेणी	औसत = बीच वाला पद (विषम पद) या बीच के दो पदों का औसत (सम पद)

क्रमागत संख्याओं के औसत

श्रेणी	औसत	उदाहरण
1 से n तक	(n + 1)/2	1 से 50: 25.5
पहली n सम संख्याएँ (2, 4, …, 2n)	n + 1	पहली 20 सम: 21
पहली n विषम संख्याएँ (1, 3, …, 2n − 1)	n	पहली 15 विषम: 15
1² से n² तक	(n + 1)(2n + 1)/6	1² से 10²: 38.5
1³ से n³ तक	n(n + 1)²/4	1³ से 5³: 45
a से b तक के क्रमागत पूर्णांक	(a + b)/2	11 से 29: 20

ये सूत्र योग के सूत्रों (n(n + 1)/2, n(n + 1)(2n + 1)/6 आदि) को n से भाग देकर बनते हैं; संख्या-श्रेणियों के योग संख्या पद्धति वाले नोट में हैं।

उदाहरण 1: क्रमागत विषम संख्याएँ

प्रश्न: 5 क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 27 है। सबसे बड़ी संख्या?

हल: विषम संख्या में पद हों तो औसत = बीच वाला पद = 27। संख्याएँ 23, 25, 27, 29, 31 ⇒ सबसे बड़ी 31।

Shortcut: सबसे बड़ी = औसत + (n − 1)/2 × अंतर = 27 + 2 × 2 = 31। यह केवल समांतर (समान अंतर वाली) श्रेणी पर मान्य है।

उदाहरण 2: सम संख्या में पद

प्रश्न: 6 क्रमागत संख्याओं का औसत 15.5 है। सबसे छोटी?

हल: बीच के दो पद 15 और 16 ⇒ संख्याएँ 13 से 18 ⇒ सबसे छोटी 13।

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4. सदस्य जुड़ना, हटना और बदलना

स्थिति	Shortcut	शर्त
1 सदस्य जुड़ा, औसत d बढ़ा	नया सदस्य = पुराना औसत + (n + 1)d = नया औसत + nd	n = पुरानी संख्या
1 सदस्य हटा, औसत d घटा	हटा सदस्य = पुराना औसत + (n − 1)d	n = पुरानी संख्या
1 सदस्य बदला, औसत d बढ़ा	नया = पुराना सदस्य + nd	संख्या वही रहे
1 सदस्य बदला, औसत d घटा	नया = पुराना सदस्य − nd	संख्या वही रहे

उदाहरण 3: शिक्षक जुड़ा

प्रश्न: 30 छात्रों की औसत आयु 15 वर्ष है। शिक्षक को जोड़ने पर औसत 16 वर्ष हो जाता है। शिक्षक की आयु?

हल (मूल विधि): नया योग = 31 × 16 = 496, पुराना योग = 30 × 15 = 450 ⇒ शिक्षक = 46 वर्ष।

Shortcut: नया औसत + पुरानी संख्या × वृद्धि = 16 + 30 × 1 = 46। (या पुराना औसत + नई संख्या × वृद्धि = 15 + 31 × 1 = 46)

उदाहरण 4: एक संख्या हटाई

प्रश्न: 10 संख्याओं का औसत 40 है। एक संख्या हटाने पर शेष का औसत 38 हो जाता है। हटाई गई संख्या?

हल: 10 × 40 − 9 × 38 = 400 − 342 = 58।

Shortcut: पुराना औसत + शेष संख्या × कमी = 40 + 9 × 2 = 58।

उदाहरण 5: एक व्यक्ति बदला

प्रश्न: 8 व्यक्तियों का औसत भार 2.5 kg बढ़ जाता है जब 65 kg वाले व्यक्ति के स्थान पर नया व्यक्ति आता है। नए व्यक्ति का भार?

हल: कुल भार में वृद्धि = 8 × 2.5 = 20 kg ⇒ नया = 65 + 20 = 85 kg।

उदाहरण 6: दो सदस्य जुड़े

प्रश्न: 20 छात्रों का औसत अंक 50 है। 2 नए छात्र आने पर औसत 51 हो जाता है। नए छात्रों के अंकों का औसत?

हल: नया योग = 22 × 51 = 1122, पुराना = 1000 ⇒ दोनों का योग 122 ⇒ औसत 61।

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5. गलत लिखा मान, मध्य पद और योग-समूह

उदाहरण 7: गलत लिखा मान

प्रश्न: 50 संख्याओं का औसत 36 निकला। बाद में पता चला कि 48 को गलती से 23 पढ़ा गया था। सही औसत?

हल: सही योग = 50 × 36 + (48 − 23) = 1800 + 25 = 1825 ⇒ सही औसत = 36.5।

Shortcut: 36 + 25/50 = 36.5। गलत मान छोटा लिखा गया हो तो औसत बढ़ेगा, बड़ा लिखा गया हो तो घटेगा।

उदाहरण 8: मध्य पद (बीच वाला परिणाम)

प्रश्न: 11 परिणामों का औसत 50 है। पहले 6 का औसत 49 और अंतिम 6 का औसत 52 है। छठा परिणाम?

हल: छठा परिणाम दोनों समूहों में गिना गया: 6 × 49 + 6 × 52 − 11 × 50 = 294 + 312 − 550 = 56।

उदाहरण 9: जोड़ियों के औसत

प्रश्न: A और B की औसत मासिक आय ₹ 5050, B और C की ₹ 6250, तथा A और C की ₹ 5200 है। A की आय?

हल:

1. A + B = 10100, B + C = 12500, A + C = 10400।
2. जोड़ने पर 2(A + B + C) = 33000 ⇒ A + B + C = 16500।
3. A = 16500 − (B + C) = 16500 − 12500 = ₹ 4000 (B = 6100, C = 6400)।

उदाहरण 10: भारित औसत

प्रश्न: अनुभाग A के 40 छात्रों का औसत अंक 60 और अनुभाग B के 60 छात्रों का 70 है। पूरी कक्षा का औसत?

हल: (40 × 60 + 60 × 70)/100 = (2400 + 4200)/100 = 66।

Trap: (60 + 70)/2 = 65 तभी सही है जब दोनों अनुभागों में छात्र बराबर हों।

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6. बल्लेबाज़ी और गेंदबाज़ी औसत

औसत	परिभाषा
बल्लेबाज़ी औसत	कुल रन / पारियाँ (इस अध्याय के प्रश्नों में हर पारी को आउट माना जाता है)
गेंदबाज़ी औसत	दिए गए कुल रन / लिए गए कुल विकेट

वास्तविक क्रिकेट में बल्लेबाज़ी औसत "आउट हुई पारियों" से निकलता है; प्रतियोगी परीक्षाओं के प्रश्नों में जब तक अलग न कहा जाए, हर पारी गिनी जाती है।

उदाहरण 11: अगली पारी में आवश्यक रन

प्रश्न: एक बल्लेबाज़ का 10 पारियों में औसत 32 है। 11वीं पारी में कितने रन बनाए कि औसत 35 हो जाए?

हल: 11 × 35 − 10 × 32 = 385 − 320 = 65।

Shortcut: नया औसत + पुरानी पारियाँ × वृद्धि = 35 + 10 × 3 = 65।

उदाहरण 12: औसत बढ़ने से नया औसत

प्रश्न: एक बल्लेबाज़ 16वीं पारी में 85 रन बनाता है, जिससे उसका औसत 3 बढ़ जाता है। 16वीं पारी के बाद औसत?

हल: पुराना औसत x: 15x + 85 = 16(x + 3) ⇒ x = 85 − 48 = 37 ⇒ नया औसत = 40।

Shortcut: नया औसत = उस पारी के रन − (पुरानी पारियाँ × वृद्धि) = 85 − 15 × 3 = 40।

उदाहरण 13: गेंदबाज़ी औसत

प्रश्न: एक गेंदबाज़ का औसत 12.4 रन प्रति विकेट है। वह अगले मैच में 26 रन देकर 5 विकेट लेता है, जिससे औसत 0.4 घट जाता है। इस मैच से पहले उसने कितने विकेट लिए थे?

हल: 12.4w + 26 = 12(w + 5) ⇒ 0.4w = 60 − 26 = 34 ⇒ w = 85।

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7. औसत चाल

स्थिति	औसत चाल	उदाहरण
सामान्य	कुल दूरी / कुल समय	100 km @ 50, 150 km @ 75 → 250/4 = 62.5 km/h
समान दूरी, दो चालें	2xy/(x + y)	40 और 60 → 48 km/h
समान दूरी, तीन चालें	3xyz/(xy + yz + zx)	20, 30, 60 → 30 km/h
समान समय, दो चालें	(x + y)/2	1 घंटा 40, 1 घंटा 60 → 50 km/h

उदाहरण 14: जाना-आना

प्रश्न: एक व्यक्ति A से B तक 40 km/h से जाता है और 60 km/h से लौटता है। पूरी यात्रा की औसत चाल?

हल: 2 × 40 × 60/(40 + 60) = 4800/100 = 48 km/h।

जाँच: दूरी 120 km मानें: समय 3 + 2 = 5 घंटे, कुल दूरी 240 ⇒ 48 ✔

उदाहरण 15: समान दूरी

प्रश्न: 60 km, 30 km/h से और अगले 60 km, 60 km/h से। औसत चाल?

हल: 2 × 30 × 60/90 = 40 km/h (समय 2 + 1 = 3 घंटे, दूरी 120)।

उदाहरण 16: तीन समान दूरियाँ

प्रश्न: तीन बराबर दूरियाँ 20, 30 और 60 km/h से तय की गईं। औसत चाल?

हल: 3 × 20 × 30 × 60/(600 + 1800 + 1200) = 108000/3600 = 30 km/h।

कब कौन-सा: 2xy/(x + y) केवल बराबर दूरी पर; (x + y)/2 केवल बराबर समय पर। दूरी और समय दोनों अलग हों तो कुल दूरी ÷ कुल समय।

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8. आयु के प्रश्न

नियम	अर्थ
आयु का अंतर स्थिर	A − B आज, 10 वर्ष पहले और 10 वर्ष बाद — तीनों में वही
n वर्ष पहले	दोनों की आयु में से n घटाएँ
n वर्ष बाद	दोनों की आयु में n जोड़ें
k व्यक्तियों का योग n वर्ष बाद	योग में k × n जुड़ता है
औसत आयु n वर्ष बाद	औसत में n जुड़ता है (सदस्य वही रहें तो)
जन्म के समय की आयु	माता की आयु − पुत्र की आयु = पुत्र के जन्म के समय माता की आयु

उदाहरण 17: वर्तमान और भूत के अनुपात

प्रश्न: A और B की वर्तमान आयु का अनुपात 4 : 5 है। 6 वर्ष पहले यह 2 : 3 था। वर्तमान आयु?

हल: (4x − 6)/(5x − 6) = 2/3 ⇒ 12x − 18 = 10x − 12 ⇒ x = 3। A = 12, B = 15 वर्ष। जाँच: 6 और 9 = 2 : 3 ✔

Shortcut (अंतर-विधि): अंतर स्थिर रहता है। 4 : 5 का अंतर 1 भाग, 2 : 3 का भी 1 भाग — अतः दोनों अनुपातों में "भाग" का आकार बराबर है: (4 − 2) भाग = 6 वर्ष ⇒ 1 भाग = 3। यह तभी सीधे लगता है जब दोनों अनुपातों के अंतर बराबर हों; अन्यथा पहले उन्हें बराबर करें (जैसे 3 : 4 और 5 : 7 में पहले को 6 : 8 बनाएँ)।

उदाहरण 18: गुणज वाला प्रश्न

प्रश्न: पिता की आयु पुत्र की आयु की 3 गुनी है। 15 वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की आयु की दोगुनी होगी। वर्तमान आयु?

हल: 3x + 15 = 2(x + 15) ⇒ x = 15। पुत्र = 15, पिता = 45 वर्ष।

उदाहरण 19: भूत में आधी आयु

प्रश्न: A और B की वर्तमान आयु 3 : 4 में है। 10 वर्ष पहले A की आयु B की आधी थी। दोनों की वर्तमान आयु?

हल: 3x − 10 = (4x − 10)/2 ⇒ 6x − 20 = 4x − 10 ⇒ x = 5। A = 15, B = 20 (10 वर्ष पहले 5 और 10 ✔)।

उदाहरण 20: समान अंतराल पर जन्मे बच्चे

प्रश्न: 3-3 वर्ष के अंतराल पर जन्मे 5 बच्चों की आयु का योग 50 वर्ष है। सबसे छोटे की आयु?

हल: x + (x + 3) + (x + 6) + (x + 9) + (x + 12) = 5x + 30 = 50 ⇒ x = 4 वर्ष।

Shortcut: औसत = 10 = बीच वाले बच्चे की आयु ⇒ सबसे छोटा = 10 − 2 × 3 = 4 (समांतर श्रेणी, विषम संख्या में पद)।

उदाहरण 21: परिवार की औसत आयु

प्रश्न: 3 वर्ष पहले पति, पत्नी और बच्चे की औसत आयु 27 वर्ष थी, और 5 वर्ष पहले पत्नी और बच्चे की औसत आयु 20 वर्ष थी। पति की वर्तमान आयु?

हल:

1. 3 वर्ष पहले योग = 81 ⇒ आज H + W + C = 81 + 3 × 3 = 90।
2. 5 वर्ष पहले W + C = 40 ⇒ आज W + C = 40 + 2 × 5 = 50।
3. H = 90 − 50 = 40 वर्ष।

उदाहरण 22: जन्म के समय माता की आयु

प्रश्न: पुत्र के जन्म के समय माता की आयु 24 वर्ष थी। अब माता की आयु पुत्र की आयु की 3 गुनी है। पुत्र की आयु?

हल: अंतर 24 स्थिर: 3x − x = 24 ⇒ x = 12 वर्ष (माता 36)।

आयु के प्रश्नों को समीकरण में बदलना

प्रश्न का वाक्य	समीकरण (A = ax, B = bx)
"n वर्ष पहले अनुपात p : q था"	(ax − n)/(bx − n) = p/q
"n वर्ष बाद अनुपात p : q होगा"	(ax + n)/(bx + n) = p/q
"A की आयु B की k गुनी है"	A = kB
"दोनों की आयु का योग S है"	(a + b)x = S
"A, B से d वर्ष बड़ा है"	A − B = d (हर समय)
"n वर्ष बाद दोनों का योग S होगा"	A + B + 2n = S

उदाहरण: A : B = 5 : 6 और योग 44 ⇒ 11x = 44 ⇒ x = 4 ⇒ A = 20, B = 24; 4 वर्ष बाद 24 : 28 = 6 : 7।

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9. एलिगेशन (Alligation) नियम

जब दो अलग मूल्य/सांद्रता वाली वस्तुएँ मिलाकर एक माध्य मूल्य बनता है, तब:

सस्ती वस्तु की मात्रा : महँगी वस्तु की मात्रा = (महँगा − माध्य) : (माध्य − सस्ता)

सस्ता (c)	माध्य (m)	महँगा (d)	सस्ता : महँगा
₹ 20/kg	₹ 26/kg	₹ 30/kg	(30 − 26) : (26 − 20) = 4 : 6 = 2 : 3
पानी ₹ 0	₹ 32/L	दूध ₹ 40/L	पानी : दूध = 8 : 32 = 1 : 4
30% सोना	42%	50% सोना	8 : 12 = 2 : 3
लड़के औसत 55	कक्षा 60	लड़कियाँ औसत 70	लड़के : लड़कियाँ = 10 : 5 = 2 : 1

कब मान्य: एलिगेशन तभी लगता है जब माध्य मान दोनों मानों के बीच हो और सभी मान एक ही आधार पर हों (प्रति kg, प्रति L, या प्रतिशत — पूरे मिश्रण के सापेक्ष)। माध्य हमेशा क्रय मूल्य होना चाहिए, विक्रय मूल्य नहीं।

उदाहरण 23: दो प्रकार के चावल

प्रश्न: ₹ 20/kg और ₹ 30/kg के चावल किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण ₹ 26/kg का हो?

हल: (30 − 26) : (26 − 20) = 4 : 6 = 2 : 3। जाँच: (2 × 20 + 3 × 30)/5 = 130/5 = 26 ✔

उदाहरण 24: दूध में पानी

प्रश्न: ₹ 40/L के दूध में पानी किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण का मूल्य ₹ 32/L हो?

हल: पानी का मूल्य 0: पानी : दूध = (40 − 32) : (32 − 0) = 8 : 32 = 1 : 4।

उदाहरण 25: मिश्रण बेचकर लाभ

प्रश्न: ₹ 25/kg और ₹ 40/kg की चाय किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण ₹ 33/kg पर बेचने से 10% लाभ हो?

हल:

1. मिश्रण का क्रय मूल्य = 33 × 100/110 = ₹ 30।
2. (40 − 30) : (30 − 25) = 10 : 5 = 2 : 1।

Trap: 33 को सीधे माध्य मानना गलत है — पहले लाभ हटाकर क्रय मूल्य निकालें।

उदाहरण 26: दो मिश्रणों का मिश्रण

प्रश्न: बर्तन A में दूध : पानी = 3 : 1 और बर्तन B में 1 : 1 है। दोनों को किस अनुपात में मिलाएँ कि दूध : पानी = 2 : 1 हो?

हल: दूध का अंश: A = 3/4, B = 1/2, लक्ष्य = 2/3।

1. B (कम दूध) : A (अधिक दूध) = (3/4 − 2/3) : (2/3 − 1/2) = 1/12 : 1/6 = 1 : 2।
2. अतः A : B = 2 : 1।

जाँच: A के 2 भाग में दूध 1.5, B के 1 भाग में 0.5 ⇒ 2 भाग दूध, 1 भाग पानी ✔

उदाहरण 27: कुल मात्रा दी हो

प्रश्न: ₹ 20/kg और ₹ 30/kg के चावल मिलाकर ₹ 26/kg का 50 kg मिश्रण बनाना है। सस्ता चावल कितना?

हल: अनुपात 2 : 3 ⇒ सस्ता = 50 × 2/5 = 20 kg (महँगा 30 kg)।

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10. प्रतिस्थापन (Replacement) — x(1 − y/x)ⁿ

x लीटर शुद्ध द्रव से y लीटर निकालकर उतना ही पानी भरा जाए और यह क्रिया n बार दोहराई जाए, तो:

बचा शुद्ध द्रव = x(1 − y/x)ⁿ और शुद्ध द्रव : कुल = (1 − y/x)ⁿ

कब मान्य: (1) हर बार उतनी ही मात्रा निकाली और उतनी ही वापस भरी जाए, जिससे कुल मात्रा x स्थिर रहे; (2) हर बार निकाला गया भाग अच्छी तरह मिले हुए मिश्रण से हो। यदि भरने वाला द्रव पानी न होकर कुछ और हो, तब भी सूत्र मूल द्रव की बची मात्रा देता है।

उदाहरण 28: तीन बार

प्रश्न: 40 लीटर दूध से 4 लीटर निकालकर पानी भरा गया। यह क्रिया 3 बार की गई। अंत में दूध कितना है?

हल: 40 × (1 − 4/40)³ = 40 × (0.9)³ = 40 × 0.729 = 29.16 लीटर। पानी = 10.84 लीटर; दूध : पानी = 729 : 271।

उदाहरण 29: दो बार

प्रश्न: 80 लीटर शुद्ध द्रव से 8 लीटर निकालकर पानी भरा गया, दो बार। शेष शुद्ध द्रव?

हल: 80 × (0.9)² = 80 × 0.81 = 64.8 लीटर।

उदाहरण 30: निकाली मात्रा ज्ञात करना

प्रश्न: 64 लीटर दूध से कुछ लीटर निकालकर पानी भरा गया, दो बार। अंत में 49 लीटर दूध बचा। हर बार कितना निकाला गया?

हल: (1 − y/64)² = 49/64 ⇒ 1 − y/64 = 7/8 ⇒ y = 8 लीटर।

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11. Shortcut विधियाँ — कब मान्य, कब नहीं

Shortcut	कब मान्य	कब नहीं
औसत = (पहला + अंतिम)/2	समांतर श्रेणी (समान अंतर)	वर्ग, घन या अनियमित संख्याएँ
नया सदस्य = नया औसत + n × वृद्धि	ठीक 1 सदस्य जुड़ा	कई सदस्य एक साथ (तब कुल योग से)
नया = पुराना + n × वृद्धि (बदलना)	संख्या वही रहे	संख्या बदल जाए
2xy/(x + y)	दो बराबर दूरियाँ	बराबर समय या अलग दूरियाँ
(x + y)/2 औसत चाल	बराबर समय	बराबर दूरी
आयु में अंतर-विधि	दोनों अनुपातों के अंतर बराबर किए गए हों	अंतर बराबर किए बिना
एलिगेशन	माध्य दोनों के बीच, एक ही आधार (प्रति इकाई)	विक्रय मूल्य को माध्य मानना; अलग आधार
x(1 − y/x)ⁿ	हर बार समान मात्रा निकाली-भरी, कुल स्थिर	हर बार अलग मात्रा या भरी न जाए

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12. परीक्षा में कौन-सी गलतियाँ होती हैं? (Exam Trap)

Trap 1: औसत चाल को साधारण औसत मानना

40 और 60 km/h से बराबर दूरी — औसत चाल 50 नहीं, 48 km/h। धीमी चाल पर अधिक समय लगता है, इसलिए औसत धीमी चाल की ओर झुकता है।

Trap 2: शिक्षक जोड़ने पर नई संख्या

30 छात्र + 1 शिक्षक = 31। नया योग 31 × नया औसत से निकलेगा, 30 × नया औसत से नहीं।

Trap 3: "n वर्ष पहले" केवल एक व्यक्ति पर

"6 वर्ष पहले अनुपात 2 : 3 था" — दोनों की आयु में 6 घटाना है। समूह की औसत आयु में n वर्ष जोड़ें-घटाएँ, योग में (सदस्य × n)।

Trap 4: एलिगेशन में अनुपात का क्रम

(महँगा − माध्य) सस्ती वस्तु की मात्रा देता है, महँगी की नहीं। ₹ 20 और ₹ 30 से ₹ 26 बनाने पर सस्ता : महँगा = 2 : 3; उलटा लिखने पर उत्तर गलत होगा। जाँच के लिए भारित औसत निकालकर देखें।

Trap 5: विक्रय मूल्य को माध्य मानना

"₹ 33 पर बेचकर 10% लाभ" में माध्य ₹ 30 (क्रय मूल्य) है, ₹ 33 नहीं।

Trap 6: प्रतिस्थापन को सरल घटाव मानना

40 L में से 4 L, तीन बार निकालने पर दूध 40 − 12 = 28 L नहीं, बल्कि 29.16 L बचता है — दूसरी और तीसरी बार निकले मिश्रण में कुछ पानी भी होता है।

Trap 7: भारित औसत

दो समूहों के औसत का साधारण औसत तभी सही है जब समूहों के आकार बराबर हों।

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13. Most-Asked रिवीज़न तालिका (50 तथ्य)

क्रम	प्रश्न	उत्तर
1	औसत का सूत्र	योग / संख्या
2	1 से 50 का औसत	25.5
3	1 से 100 का औसत	50.5
4	पहली 20 सम संख्याओं का औसत	21
5	पहली 15 विषम संख्याओं का औसत	15
6	पहली n सम संख्याओं का औसत	n + 1
7	पहली n विषम संख्याओं का औसत	n
8	1² से 10² का औसत	38.5
9	1³ से 5³ का औसत	45
10	11 से 29 तक के पूर्णांकों का औसत	20
11	5 क्रमागत विषम का औसत 27 — सबसे बड़ी	31
12	6 क्रमागत संख्याओं का औसत 15.5 — सबसे छोटी	13
13	30 छात्र औसत 15, शिक्षक सहित 16 — शिक्षक	46 वर्ष
14	10 संख्याएँ औसत 40, एक हटाने पर 38 — हटाई गई	58
15	8 व्यक्ति, 65 kg की जगह नया, औसत +2.5 — नया	85 kg
16	20 छात्र औसत 50, 2 नए से 51 — नए का औसत	61
17	50 संख्याएँ औसत 36, 48 को 23 पढ़ा — सही औसत	36.5
18	11 परिणाम 50, पहले 6 का 49, अंतिम 6 का 52 — छठा	56
19	A+B, B+C, A+C औसत 5050, 6250, 5200 — A	₹ 4000
20	40 छात्र @60, 60 छात्र @70 — कक्षा औसत	66
21	बल्लेबाज़ी औसत	कुल रन / पारियाँ
22	गेंदबाज़ी औसत	दिए रन / विकेट
23	10 पारी औसत 32, 11वीं में कितने कि 35 हो	65
24	16वीं पारी में 85, औसत +3 — नया औसत	40
25	गेंदबाज़ 12.4, 5 विकेट 26 रन, औसत −0.4 — पहले विकेट	85
26	बराबर दूरी की औसत चाल	2xy/(x + y)
27	40 और 60 km/h (बराबर दूरी)	48 km/h
28	30 और 60 km/h (बराबर दूरी)	40 km/h
29	20, 30, 60 km/h (तीन बराबर दूरियाँ)	30 km/h
30	बराबर समय की औसत चाल	(x + y)/2
31	100 km @50, 150 km @75 — औसत चाल	62.5 km/h
32	दो व्यक्तियों की आयु का अंतर	हमेशा स्थिर
33	4 : 5 अब, 6 वर्ष पहले 2 : 3 — आयु	12, 15
34	पिता = 3 × पुत्र, 15 वर्ष बाद 2 गुना — पिता	45 वर्ष
35	3 : 4 अब, 10 वर्ष पहले A = B/2 — आयु	15, 20
36	3-3 वर्ष अंतर पर 5 बच्चे, योग 50 — सबसे छोटा	4 वर्ष
37	3 वर्ष पहले H, W, C औसत 27; 5 वर्ष पहले W, C औसत 20 — पति	40 वर्ष
38	जन्म पर माता 24, अब माता = 3 × पुत्र — पुत्र	12 वर्ष
39	एलिगेशन नियम	सस्ता : महँगा = (d − m) : (m − c)
40	₹ 20 और ₹ 30 से ₹ 26 — अनुपात	2 : 3
41	₹ 40/L दूध से ₹ 32/L — पानी : दूध	1 : 4
42	30% और 50% सोना से 42% — अनुपात	2 : 3
43	लड़के 55, लड़कियाँ 70, कक्षा 60 — लड़के : लड़कियाँ	2 : 1
44	₹ 25 और ₹ 40 की चाय, ₹ 33 पर 10% लाभ — अनुपात	2 : 1
45	A (3 : 1) और B (1 : 1) से 2 : 1 — A : B	2 : 1
46	50 kg (2 : 3) मिश्रण में सस्ता	20 kg
47	प्रतिस्थापन सूत्र	x(1 − y/x)ⁿ
48	40 L, 4 L तीन बार — दूध	29.16 L
49	80 L, 8 L दो बार — शुद्ध द्रव	64.8 L
50	64 L, दो बार, 49 L बचा — हर बार निकाला	8 L

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14. परीक्षा में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

इस अध्याय के प्रश्न प्रायः छह ढाँचों में आते हैं। हर ढाँचे के लिए एक नमूना (स्वयं बनाया गया) प्रश्न:

1. क्रमागत संख्याएँ: "पहली 40 सम संख्याओं का औसत?" (40 + 1 = 41)
2. सदस्य जुड़ना: "25 कर्मचारियों का औसत वेतन ₹ 8000; प्रबंधक जोड़ने पर औसत ₹ 500 बढ़ता है। प्रबंधक का वेतन?" (8500 + 25 × 500 = ₹ 21000)
3. गलत मान: "20 संख्याओं का औसत 45; 72 को 27 पढ़ा गया। सही औसत?" (45 + 45/20 = 47.25)
4. औसत चाल: "साइकिल से 12 km/h से जाकर 8 km/h से लौटा।" (2 × 12 × 8/20 = 9.6 km/h)
5. आयु: "A, B से 5 वर्ष बड़ा है; 5 वर्ष पहले A की आयु B की दोगुनी थी।" (B − 5 = 5 ⇒ B = 10, A = 15)
6. एलिगेशन/प्रतिस्थापन: "₹ 60/kg और ₹ 90/kg की दाल से ₹ 70/kg का मिश्रण।" ((90 − 70) : (70 − 60) = 2 : 1)

रणनीति: औसत के हर प्रश्न को पहले "योग" में बदलें। आयु में "अंतर स्थिर" का उपयोग करें। मिश्रण में पहले यह पहचानें कि माध्य क्रय मूल्य है या नहीं। मिश्रित अभ्यास के लिए RRB NTPC CBT-1 2026 टेस्ट सीरीज़ उपयोगी है।

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15. इसे आसानी से याद कैसे रखें?

1. "औसत को योग बनाओ": औसत × संख्या = योग — हर प्रश्न का पहला कदम।

2. सम-विषम: "सम में एक ज़्यादा, विषम में बराबर" — पहली n सम का औसत n + 1, विषम का n।

3. औसत चाल: "दूरी बराबर — दो गुणा गुणनफल बटा योग; समय बराबर — सीधा आधा"।

4. आयु: "उम्र बढ़ती है, फ़ासला नहीं" — अंतर स्थिर।

5. एलिगेशन क्रॉस: दोनों मान ऊपर, माध्य बीच में, नीचे "तिरछा घटाओ" — महँगे में से माध्य सस्ते के नीचे, माध्य में से सस्ता महँगे के नीचे।

6. प्रतिस्थापन: "हर बार उतना ही प्रतिशत घटता है" — 40 में से 4 = 10% हर बार, यानी 0.9 की घात।

7. सदस्य जुड़ा: "नया = नया औसत + पुराने × बढ़त"।

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16. कथन अभ्यास

पहली n विषम संख्याओं का औसत n होता है। — सही।

पहली 20 सम संख्याओं का औसत 20 है। — गलत (औसत 21 है)।

हर संख्या में 5 जोड़ने पर औसत भी 5 बढ़ जाता है। — सही।

40 और 60 km/h से बराबर दूरी तय करने पर औसत चाल 50 km/h है। — गलत (48 km/h; 50 बराबर समय पर होती)।

बराबर समय तक x और y चाल से चलने पर औसत चाल (x + y)/2 होती है। — सही।

दो व्यक्तियों की आयु का अनुपात समय के साथ स्थिर रहता है। — गलत (अनुपात बदलता है; आयु का अंतर स्थिर रहता है)।

किसी समूह की औसत आयु 5 वर्ष बाद 5 वर्ष बढ़ जाती है, यदि सदस्य वही रहें। — सही।

एलिगेशन में (महँगा − माध्य) सस्ती वस्तु की मात्रा का अनुपाती है। — सही।

मिश्रण बेचकर लाभ वाले प्रश्न में विक्रय मूल्य को सीधे माध्य मान लेते हैं। — गलत (पहले लाभ हटाकर क्रय मूल्य को माध्य मानते हैं)।

40 L दूध से 4 L निकालकर पानी भरने की क्रिया 3 बार करने पर 28 L दूध बचता है। — गलत (29.16 L बचता है)।

दो अनुभागों के औसत का साधारण औसत हमेशा पूरी कक्षा का औसत होता है। — गलत (केवल तब जब अनुभागों में छात्र बराबर हों)।

किसी सदस्य के बदलने पर कुल योग में परिवर्तन = संख्या × औसत में परिवर्तन। — सही।

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17. एक दिन पहले — 15 रेखाएँ

1. औसत = योग/संख्या; योग = औसत × संख्या
2. समांतर श्रेणी का औसत = (पहला + अंतिम)/2 = बीच का पद
3. 1 से n: (n + 1)/2; पहली n सम: n + 1; पहली n विषम: n
4. नया सदस्य = नया औसत + पुरानी संख्या × वृद्धि
5. हटाया सदस्य = पुराना औसत + शेष संख्या × कमी
6. बदला सदस्य: नया = पुराना + n × वृद्धि
7. गलत मान: सही औसत = पुराना + (सही − गलत)/n
8. बल्लेबाज़: नया औसत = उस पारी के रन − पुरानी पारियाँ × वृद्धि
9. बराबर दूरी: 2xy/(x + y); तीन: 3xyz/(xy + yz + zx); बराबर समय: (x + y)/2
10. आयु: अंतर स्थिर; n वर्ष पहले/बाद दोनों में n घटाएँ/जोड़ें
11. समान अंतराल पर बच्चे — औसत = बीच वाले की आयु
12. एलिगेशन: सस्ता : महँगा = (d − m) : (m − c)
13. मिश्रण बेचकर लाभ — माध्य = क्रय मूल्य
14. प्रतिस्थापन: x(1 − y/x)ⁿ
15. भारित औसत: (n₁a₁ + n₂a₂)/(n₁ + n₂)

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18. अभ्यास

नोट पढ़ने के बाद इस पृष्ठ के अंत में दिए 25 प्रश्नों का क्विज़ हल करें। जिन प्रश्नों में गलती हो, उनके लिए खंड 4 (सदस्य जुड़ना-हटना), खंड 7 (औसत चाल), खंड 9 (एलिगेशन) और खंड 11 (Shortcut कब मान्य) दोबारा पढ़ें। परीक्षा-स्तर के अभ्यास के लिए राजस्थान CET (स्नातक) मेगा टेस्ट सीरीज़ हल करें।

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19. निष्कर्ष: परीक्षा के लिए क्या याद रखें?

औसत, आयु और मिश्रण तीनों में एक ही सोच काम करती है: औसत को योग में बदलो, स्थिर रहने वाली चीज़ पहचानो, और भारित औसत लगाओ। औसत में योग, आयु में अंतर, मिश्रण में न मिलाया गया घटक और प्रतिस्थापन में कुल मात्रा स्थिर रहती है। औसत चाल के दो सूत्रों (बराबर दूरी बनाम बराबर समय) और एलिगेशन में अनुपात के क्रम पर सबसे अधिक गलतियाँ होती हैं — इन्हें हर बार एक छोटी जाँच (कुल दूरी ÷ कुल समय, या भारित औसत) से पक्का करें।

योग = औसत × संख्या | सम n + 1, विषम n | नया = नया औसत + n × वृद्धि | बराबर दूरी 2xy/(x + y) | आयु का अंतर स्थिर | सस्ता : महँगा = (d − m) : (m − c) | x(1 − y/x)ⁿ

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