लाभ-हानि और छूट के सूत्र — CP, SP, MP, क्रमिक छूट, झूठे बाट, x खरीदो y मुफ़्त व समान SP — CET

संक्षिप्त उत्तर: लाभ-हानि में क्रय मूल्य (CP) वह राशि है जिस पर वस्तु खरीदी गई, विक्रय मूल्य (SP) जिस पर बेची गई और अंकित मूल्य (MP) वस्तु पर लिखा मूल्य है; लाभ% और हानि% सदैव CP पर निकलते हैं, जबकि छूट% सदैव MP पर। मूल सूत्र हैं — SP = CP × (100 + लाभ%)/100, SP = CP × (100 − हानि%)/100 और SP = MP × (100 − छूट%)/100। दो क्रमिक छूट a% और b% मिलकर a + b − ab/100 के बराबर एकल छूट देती हैं, इसलिए 20% और 10% की क्रमिक छूट 30% नहीं बल्कि 28% है। बेईमान दुकानदार 1 kg की जगह 900 g तौले तो लाभ% = (सही − गलत)/गलत × 100 = 11 1/9%, और "x खरीदो y मुफ़्त" में प्रभावी छूट y/(x + y) × 100 होती है। यदि दो वस्तुएँ समान विक्रय मूल्य पर बेची जाएँ — एक पर x% लाभ और दूसरी पर x% हानि — तो सौदे में हमेशा x²/100 % की हानि होती है। अनुपात वाले प्रश्नों में CP : SP = 4 : 5 का अर्थ 25% लाभ है, और "15 वस्तुओं का CP = 12 वस्तुओं का SP" का अर्थ भी 25% लाभ है।

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संक्षिप्त उत्तर

सूत्र / तथ्य	मान
लाभ	SP − CP (जब SP > CP)
हानि	CP − SP (जब CP > SP)
लाभ%	(लाभ / CP) × 100
हानि%	(हानि / CP) × 100
SP (लाभ पर)	CP × (100 + लाभ%)/100
CP (लाभ पर SP से)	SP × 100/(100 + लाभ%)
छूट	MP − SP
छूट%	(छूट / MP) × 100
दो क्रमिक छूट a%, b%	a + b − ab/100
MP, CP से M% अधिक; छूट D%	लाभ% = M − D − MD/100
D% छूट देकर P% लाभ के लिए अंकन	(D + P)/(100 − D) × 100 % अधिक
झूठा बाट (CP पर बिक्री)	लाभ% = (सही − गलत)/गलत × 100
x खरीदो y मुफ़्त	छूट% = y/(x + y) × 100
समान SP; x% लाभ व x% हानि	हमेशा x²/100 % हानि
a वस्तुओं का CP = b वस्तुओं का SP	लाभ/हानि% = (a − b)/b × 100
CP : SP = 4 : 5	25% लाभ

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2. सिलेबस में यह टॉपिक क्यों महत्वपूर्ण है?

लाभ-हानि और छूट वाणिज्यिक गणित का सबसे व्यावहारिक अध्याय है और प्रतियोगी परीक्षाओं के अंकगणित भाग में लगभग नियमित रूप से आता है। राजस्थान CET, पटवारी और VDO में सीधे सूत्र वाले प्रश्न (CP, SP, लाभ%) और क्रमिक छूट के प्रश्न आम हैं, जबकि SSC और रेलवे में झूठे बाट, "x खरीदो y मुफ़्त", अंकित मूल्य और समान विक्रय मूल्य वाले प्रश्नों से गहराई जाँची जाती है। यह पूरा अध्याय प्रतिशत के सूत्र पर टिका है — क्रमिक छूट वही a + b + ab/100 है, बस a और b दोनों ऋणात्मक हैं।

परीक्षा उपयोगिता: ★★★★★

• राजस्थान CET (12वीं व स्नातक) / पटवारी / VDO — CP-SP-लाभ%, छूट, क्रमिक छूट, वस्तुओं की संख्या वाले प्रश्न
• SSC CGL / CHSL / MTS / GD — अंकित मूल्य-छूट-लाभ का संयोजन, झूठे बाट, समान SP, अनुपात आधारित
• RRB NTPC — सीधे सूत्र, "x खरीदो y मुफ़्त", क्रमिक छूट

प्रश्न कैसे आते हैं?

1. सीधा सूत्र — "CP ₹600, लाभ 15%; SP?"
2. उलटा सूत्र — "10% हानि पर SP ₹540; CP?"
3. छूट — एकल छूट, क्रमिक छूट, छूट के बाद लाभ
4. बेईमानी — झूठे बाट, कम तौल के साथ लाभ या हानि
5. संख्या/अनुपात — "x वस्तुओं का CP = y वस्तुओं का SP", CP : SP

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3. मूल परिभाषाएँ और सूत्र

3.1 परिभाषा तालिका

पद	अर्थ	प्रतिशत किस पर
क्रय मूल्य (CP)	खरीदने का कुल मूल्य (ढुलाई, मरम्मत आदि उपरिव्यय सहित)	लाभ% / हानि% का आधार
विक्रय मूल्य (SP)	बेचने का मूल्य	—
अंकित मूल्य (MP)	वस्तु पर लिखा / सूची मूल्य	छूट% का आधार
लाभ	SP − CP	CP
हानि	CP − SP	CP
छूट	MP − SP	MP

3.2 सीधे सूत्र — हल किए गए उदाहरण

दिया है	ज्ञात करें	गणना	उत्तर
CP ₹400, SP ₹500	लाभ%	(100/400) × 100	25%
CP ₹800, SP ₹720	हानि%	(80/800) × 100	10%
CP ₹600, लाभ 15%	SP	600 × 115/100	₹690
SP ₹920, लाभ 15%	CP	920 × 100/115	₹800
SP ₹570, हानि 5%	CP	570 × 100/95	₹600
CP ₹4500 + मरम्मत ₹500, SP ₹5500	लाभ%	(500/5000) × 100	10%

ध्यान दें: अंतिम पंक्ति में मरम्मत का ख़र्च CP में जुड़ता है, इसलिए आधार ₹5000 है, ₹4500 नहीं।

3.3 SP में परिवर्तन वाले प्रश्न

प्रश्न: एक वस्तु 10% हानि पर बिकी। यदि उसे ₹50 अधिक में बेचा जाता तो 15% लाभ होता। CP?

1. हानि 10% से लाभ 15% तक का अंतर = 25% (CP का)।
2. CP का 25% = ₹50।
3. CP = 50 × 100/25 = ₹200 (जाँच: SP 180 और 230; अंतर 50 ✓)।

प्रश्न: किसी वस्तु को ₹1920 में बेचने पर जितना लाभ होता है, उतनी ही हानि ₹1280 में बेचने पर होती है। CP?

CP = (1920 + 1280)/2 = ₹1600। शर्त: लाभ की राशि और हानि की राशि बराबर हो (CP दोनों में एक ही होने से प्रतिशत भी बराबर होगा)।

3.4 भिन्न-गुणक तालिका — तेज़ गणना के लिए

लाभ या हानि का प्रतिशत 1/n रूप में हो तो CP और SP का अनुपात सीधे लिखा जा सकता है।

लाभ / हानि	भिन्न	CP : SP	उदाहरण
12.5% लाभ	1/8	8 : 9	CP ₹640 → SP ₹720
20% लाभ	1/5	5 : 6	CP ₹450 → SP ₹540
25% लाभ	1/4	4 : 5	SP ₹750 → CP ₹600
33⅓% लाभ	1/3	3 : 4	SP ₹840 → CP ₹630
16⅔% हानि	1/6	6 : 5	CP ₹720 → SP ₹600
20% हानि	1/5	5 : 4	SP ₹480 → CP ₹600
25% हानि	1/4	4 : 3	CP ₹880 → SP ₹660

उपयोग: "25% लाभ पर SP ₹750" — CP : SP = 4 : 5, इसलिए 5 भाग = 750 → 1 भाग = 150 → CP = 4 × 150 = ₹600। शर्त: प्रतिशत को 1/n रूप में लिखा जा सके; अन्यथा सीधा सूत्र लगाएँ।

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4. लाभ% CP पर बनाम SP पर

दिया है	सूत्र	उदाहरण	उत्तर
लाभ = SP का r%; CP पर लाभ%?	r/(100 − r) × 100	r = 20 → SP 100, लाभ 20, CP 80	25%
लाभ = CP का r%; SP पर लाभ%?	r/(100 + r) × 100	r = 25 → CP 100, SP 125	20%
हानि = SP का 20%; CP पर हानि%?	r/(100 + r) × 100	SP 100, हानि 20, CP 120	16⅔%

नियम: परीक्षा में "लाभ%" बिना किसी उल्लेख के आए तो उसे CP पर ही मानें।

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5. छूट (Discount)

5.1 एकल छूट

MP	छूट	गणना	SP
₹1000	20%	1000 × 80/100	₹800
₹750	12%	750 × 88/100	₹660
₹2400	12.5% (= 1/8)	2400 × 7/8	₹2100

5.2 क्रमिक छूट

सूत्र: दो क्रमिक छूट a% और b% की समतुल्य एकल छूट = a + b − ab/100। शर्त: दूसरी छूट पहली छूट के बाद वाले मूल्य पर हो (जैसा क्रमिक छूट में हमेशा होता है)।

छूटें	गणना	एकल समतुल्य छूट
20%, 10%	20 + 10 − 200/100	28%
15%, 10%	15 + 10 − 150/100	23.5%
20%, 25%	20 + 25 − 500/100	40%
10%, 20%, 25%	1 − 0.9 × 0.8 × 0.75 = 1 − 0.54	46%

तथ्य: क्रमिक छूटों का क्रम बदलने से अंतिम SP नहीं बदलता (20% फिर 10% = 10% फिर 20%), क्योंकि गुणक 0.8 × 0.9 = 0.9 × 0.8।

उदाहरण: MP ₹1200, क्रमिक छूट 15% और 10% → SP = 1200 × 0.85 × 0.9 = ₹918।

5.3 अंकित मूल्य, छूट और लाभ — संयुक्त प्रश्न

प्रश्न	हल	उत्तर
MP, CP से 40% अधिक; 25% छूट; लाभ%?	CP 100 → MP 140 → SP 140 × 0.75 = 105; या 40 − 25 − 10	5% लाभ
MP, CP से 25% अधिक; 20% छूट; परिणाम?	100 → 125 → 100	न लाभ न हानि
20% छूट देकर 20% लाभ चाहिए; MP, CP से कितना अधिक?	(20 + 20)/(100 − 20) × 100; या 120/80 = 1.5	50% अधिक
CP ₹2400, अंकित मूल्य CP से 25% अधिक, छूट 20%; SP?	2400 × 1.25 × 0.8	₹2400 (लाभ शून्य)

शॉर्टकट (MP/CP अनुपात): MP/CP = (100 + लाभ%)/(100 − छूट%)। यह संबंध तब है जब SP = MP × (100 − D)/100 = CP × (100 + P)/100 हो।

5.4 छूट के और हल किए गए उदाहरण

प्रश्न	हल	उत्तर
15% छूट के बाद SP ₹1530; MP?	1530 × 100/85	₹1800
MP ₹800, SP ₹680; छूट%?	(120/800) × 100	15%
CP ₹500; 10% छूट देकर भी 17% लाभ; MP?	SP = 500 × 1.17 = 585; MP = 585/0.9	₹650
MP, CP से 20% अधिक; 10% छूट; लाभ ₹80; CP?	SP = CP × 1.2 × 0.9 = 1.08 CP → लाभ 8% = 80	₹1000

5.5 चरणबद्ध: छूट और लाभ एक साथ (CP = 100 विधि)

1. CP = 100 मानें।
2. अंकन M% अधिक → MP = 100 + M।
3. छूट D% → SP = (100 + M) × (100 − D)/100।
4. लाभ% = SP − 100।

उदाहरण: M = 50, D = 20 → MP 150 → SP 150 × 0.8 = 120 → 20% लाभ (सूत्र से भी 50 − 20 − 10 = 20)।

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6. झूठे बाट (False Weights)

6.1 CP पर बेचने का दावा

सूत्र: लाभ% = (सही वज़न − गलत वज़न)/गलत वज़न × 100। शर्त: दुकानदार अपने क्रय मूल्य पर ही बेचने का दावा करे और बेईमानी केवल तौल में हो।

1 kg की जगह तौल	गणना	लाभ%
900 g	100/900 × 100	11 1/9%
950 g	50/950 × 100	5 5/19%
800 g	200/800 × 100	25%
960 g	40/960 × 100	4 1/6%

6.2 झूठे बाट + घोषित लाभ या हानि

विधि: वास्तविक लाभ गुणक = (घोषित SP गुणक) × (सही वज़न / गलत वज़न)।

स्थिति	गणना	वास्तविक परिणाम
10% लाभ पर बेचता है और 900 g तौलता है	1.1 × 1000/900 = 1.2222…	22 2/9% लाभ
10% हानि पर बेचता है और 800 g तौलता है	0.9 × 1000/800 = 1.125	12.5% लाभ

चरणबद्ध (पहली पंक्ति): माना 1 g का CP ₹1। ग्राहक 1000 g का दाम 1.1 × 1000 = ₹1100 देता है, पर उसे 900 g मिलता है जिसका CP ₹900 है। लाभ = 200; लाभ% = 200/900 × 100 = 22 2/9%।

6.3 ख़रीदते और बेचते — दोनों समय बेईमानी

प्रश्न: एक व्यापारी ख़रीदते समय 1000 g के दाम में 1100 g ले लेता है और बेचते समय 1000 g के दाम में 900 g देता है। वह क्रय दर पर ही बेचने का दावा करता है। वास्तविक लाभ%?

चरण	गणना
माना 1000 g का घोषित मूल्य	₹1000
वास्तविक CP प्रति g	1000/1100
वास्तविक SP प्रति g	1000/900
SP/CP	1100/900 = 1.2222…
लाभ%	22 2/9%

शर्त: दोनों ओर घोषित दर एक ही हो; तब लाभ गुणक = (ख़रीद में लिया गया वज़न)/(बिक्री में दिया गया वज़न)।

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7. "x खरीदो, y मुफ़्त"

सूत्र: प्रभावी छूट% = y/(x + y) × 100 — ग्राहक x + y वस्तुएँ लेता है पर दाम केवल x का देता है। शर्त: सभी वस्तुओं का मूल्य समान हो।

योजना	गणना	प्रभावी छूट
4 खरीदो 1 मुफ़्त	1/5 × 100	20%
3 खरीदो 2 मुफ़्त	2/5 × 100	40%
2 खरीदो 1 मुफ़्त	1/3 × 100	33⅓%
1 खरीदो 1 मुफ़्त	1/2 × 100	50%
9 खरीदो 1 मुफ़्त	1/10 × 100	10%

उदाहरण: एक पेन का अंकित मूल्य ₹20 है और योजना "3 खरीदो 2 मुफ़्त" है। ग्राहक 5 पेन ₹60 में लेता है, यानी प्रति पेन ₹12 — अंकित मूल्य पर 8/20 × 100 = 40% की प्रभावी छूट, जो सूत्र 2/5 × 100 से मेल खाती है।

संयुक्त उदाहरण: "4 खरीदो 1 मुफ़्त" के बाद दुकानदार को फिर भी 20% लाभ हो, तो MP, CP से कितना अधिक? मुफ़्त योजना 20% छूट के बराबर है → (20 + 20)/(100 − 20) × 100 = 50% अधिक।

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8. समान SP पर x% लाभ और x% हानि

8.1 नियम और प्रमाण

यदि दो वस्तुएँ समान विक्रय मूल्य पर बेची जाएँ — एक पर x% लाभ और दूसरी पर x% हानि — तो कुल मिलाकर हमेशा x²/100 % की हानि होती है।

चरण	उदाहरण: दोनों वस्तुएँ ₹990 में, 10% लाभ और 10% हानि
पहली वस्तु का CP	990 × 100/110 = ₹900
दूसरी वस्तु का CP	990 × 100/90 = ₹1100
कुल CP	₹2000
कुल SP	₹1980
हानि	₹20 = 2000 का 1% = 10²/100 %

शर्त: नियम तभी है जब SP समान हो। यदि दोनों वस्तुओं का CP समान हो और एक पर x% लाभ व दूसरी पर x% हानि हो, तो न लाभ न हानि होती है।

8.2 और उदाहरण

x	हानि% = x²/100
5	0.25%
10	1%
20	4%
25	6.25%

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9. अनुपात और वस्तुओं की संख्या वाले प्रश्न

9.1 CP : SP अनुपात

अनुपात	गणना	परिणाम
CP : SP = 4 : 5	(5 − 4)/4 × 100	25% लाभ
CP : SP = 5 : 4	(5 − 4)/5 × 100	20% हानि
SP : CP = 9 : 10	(10 − 9)/10 × 100	10% हानि
CP : SP = 8 : 9	1/8 × 100	12.5% लाभ

9.2 "a वस्तुओं का CP = b वस्तुओं का SP"

सूत्र: लाभ/हानि% = (a − b)/b × 100। a > b हो तो लाभ, a < b हो तो हानि।

कथन	गणना	परिणाम
15 का CP = 12 का SP	3/12 × 100	25% लाभ
20 का CP = 16 का SP	4/16 × 100	25% लाभ
16 का CP = 20 का SP	4/20 × 100	20% हानि
25 बेचकर 5 के SP जितना लाभ	25 का CP = 20 का SP → 5/20 × 100	25% लाभ
25 बेचकर 5 के CP जितना लाभ	5/25 × 100	20% लाभ

9.3 दर वाले प्रश्न (इतने का इतना)

प्रश्न	हल	उत्तर
₹10 के 3 संतरे ख़रीदे, ₹10 के 2 बेचे	CP प्रति = 10/3, SP प्रति = 5 → 5 ÷ 10/3 = 1.5	50% लाभ
₹5 के 6 ख़रीदे, ₹6 के 5 बेचे	CP = 5/6, SP = 6/5 → (6/5)/(5/6) = 36/25 = 1.44	44% लाभ

9.4 दो वस्तुएँ, अलग-अलग लाभ-हानि

प्रश्न: A और B के CP का अनुपात 3 : 4 है। A को 20% लाभ और B को 10% हानि पर बेचा गया। कुल लाभ%?

वस्तु	CP (माना)	SP
A	300	300 × 1.2 = 360
B	400	400 × 0.9 = 360
कुल	700	720
लाभ%	—	20/700 × 100 = 2 6/7% ≈ 2.86%

ध्यान दें: कुल लाभ% = (20 − 10)/2 = 5% नहीं है, क्योंकि दोनों के CP बराबर नहीं हैं। भारित औसत लें। ऐसे भारित औसत की विस्तृत विधि औसत और मिश्रण में है।

9.5 हानि = कुछ वस्तुओं के SP के बराबर

प्रश्न: 20 वस्तुएँ बेचने पर 4 वस्तुओं के SP के बराबर हानि होती है। हानि%?

1. हानि = CP(20) − SP(20) = SP(4) → CP(20) = SP(24)।
2. a = 20, b = 24 → (20 − 24)/24 × 100 = −16⅔%।
3. उत्तर: 16⅔% हानि।

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10. शृंखला बिक्री और विशेष प्रश्न

10.1 A → B → C शृंखला

नियम: हर बिक्री का गुणक क्रम से गुणा करें। शर्त: हर अगले व्यक्ति का CP = पिछले का SP।

प्रश्न	हल	उत्तर
A ने B को 20% लाभ पर, B ने C को 10% लाभ पर बेचा; C ने ₹2640 दिए। A का CP?	2640 / (1.2 × 1.1) = 2640 / 1.32	₹2000
A ने B को 10% हानि पर, B ने C को 20% लाभ पर बेचा; C ने ₹1080 दिए। A का CP?	1080 / (0.9 × 1.2) = 1080 / 1.08	₹1000

10.2 SP दोगुना करने पर लाभ तिगुना

प्रश्न: किसी वस्तु का SP दोगुना करने पर लाभ तिगुना हो जाता है। लाभ%?

1. माना CP = 100, लाभ = p → SP = 100 + p।
2. नया SP = 2(100 + p); नया लाभ = 2(100 + p) − 100 = 100 + 2p।
3. 100 + 2p = 3p → p = 100।
4. उत्तर: 100% लाभ (जाँच: CP 100, SP 200, लाभ 100; SP 400 पर लाभ 300 = तिगुना ✓)।

10.3 प्रश्न-पहचान तालिका

प्रश्न में संकेत	उपयोगी सूत्र
"क्रमशः … और …% की छूट"	a + b − ab/100
"… % अधिक अंकित करके … % छूट"	M − D − MD/100
"छूट देकर भी … % लाभ"	MP/CP = (100 + P)/(100 − D)
"1 kg की जगह … g"	(सही − गलत)/गलत × 100
"… खरीदो … मुफ़्त"	y/(x + y) × 100
"दोनों को ₹… में बेचा"	x²/100 % हानि
"… वस्तुओं का CP = … का SP"	(a − b)/b × 100
"A ने B को, B ने C को"	गुणकों का गुणा

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11. परीक्षा में कौन-सी गलतियाँ होती हैं? (Exam Trap)

Trap 1: लाभ% को SP पर निकालना

CP ₹400, SP ₹500 पर लाभ% = 100/400 = 25%, न कि 100/500 = 20%। बिना उल्लेख के लाभ% CP पर होता है।

Trap 2: क्रमिक छूट जोड़ देना

20% और 10% की क्रमिक छूट = 28%, न कि 30%। दूसरी छूट घटे हुए मूल्य पर लगती है।

Trap 3: छूट को CP पर लगाना

छूट सदैव MP पर होती है। MP ₹1000, CP ₹700, छूट 20% → SP ₹800, लाभ ₹100; छूट को CP पर लगाने से गलत उत्तर आता है।

Trap 4: झूठे बाट में हर में सही वज़न रखना

900 g तौलने पर लाभ% = 100/900 × 100 = 11 1/9%, न कि 100/1000 = 10%। हर में गलत (कम) वज़न आता है।

Trap 5: समान SP वाले प्रश्न में "न लाभ न हानि"

समान SP पर 10% लाभ और 10% हानि → 1% हानि। "न लाभ न हानि" केवल तब जब CP समान हो।

Trap 6: "4 खरीदो 1 मुफ़्त" = 25% छूट

ग्राहक 5 वस्तुएँ लेता है और 4 का दाम देता है, इसलिए छूट 1/5 = 20% है, 1/4 = 25% नहीं।

Trap 7: उपरिव्यय भूलना

मरम्मत, ढुलाई या कर जैसे ख़र्च CP में जुड़ते हैं। ₹4500 + ₹500 मरम्मत = CP ₹5000।

Trap 8: अलग-अलग CP पर लाभ-हानि का साधारण औसत

3 : 4 CP वाली वस्तुओं पर 20% लाभ और 10% हानि का कुल परिणाम 5% नहीं, 2 6/7% लाभ है।

Trap 9: "x का CP = y का SP" में हर उलटना

15 का CP = 12 का SP → लाभ = 3/12 × 100 = 25%। हर में SP वाली संख्या (b) आती है, क्योंकि आधार उन b वस्तुओं का CP है।

Trap 10: शृंखला बिक्री में प्रतिशत जोड़ देना

A→B 20% लाभ और B→C 10% लाभ का कुल प्रभाव 30% नहीं, 1.2 × 1.1 = 1.32 यानी 32% है। इसी तरह 10% हानि के बाद 20% लाभ से कुल 8% लाभ होता है (0.9 × 1.2 = 1.08), 10% नहीं।

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12. Most-Asked रिवीज़न तालिका (58 तथ्य)

क्रम	प्रश्न	उत्तर
1	लाभ% किस पर निकाला जाता है	CP पर
2	छूट% किस पर निकाला जाता है	MP पर
3	CP ₹400, SP ₹500 → लाभ%	25%
4	CP ₹800, SP ₹720 → हानि%	10%
5	CP ₹600, लाभ 15% → SP	₹690
6	SP ₹920, लाभ 15% → CP	₹800
7	SP ₹570, हानि 5% → CP	₹600
8	₹4500 + ₹500 मरम्मत, SP ₹5500 → लाभ%	10%
9	10% हानि; ₹50 अधिक पर 15% लाभ → CP	₹200
10	₹1920 पर लाभ = ₹1280 पर हानि → CP	₹1600
11	लाभ = SP का 20% → CP पर लाभ%	25%
12	लाभ = CP का 25% → SP पर लाभ%	20%
13	MP ₹1000, छूट 20% → SP	₹800
14	MP ₹750, छूट 12% → SP	₹660
15	क्रमिक छूट का सूत्र	a + b − ab/100
16	20% और 10% क्रमिक छूट	28%
17	15% और 10% क्रमिक छूट	23.5%
18	20% और 25% क्रमिक छूट	40%
19	10%, 20%, 25% क्रमिक छूट	46%
20	MP ₹1200, क्रमिक 15% व 10% → SP	₹918
21	क्रमिक छूट का क्रम बदलने पर SP	नहीं बदलता
22	MP 40% अधिक, छूट 25% → लाभ%	5%
23	MP 25% अधिक, छूट 20% → परिणाम	न लाभ न हानि
24	20% छूट पर 20% लाभ → MP कितना अधिक	50%
25	MP/CP का सूत्र	(100 + P)/(100 − D)
26	1 kg की जगह 900 g → लाभ%	11 1/9%
27	1 kg की जगह 800 g → लाभ%	25%
28	1 kg की जगह 950 g → लाभ%	5 5/19%
29	1 kg की जगह 960 g → लाभ%	4 1/6%
30	10% लाभ + 900 g तौल → वास्तविक लाभ%	22 2/9%
31	10% हानि + 800 g तौल → वास्तविक	12.5% लाभ
32	x खरीदो y मुफ़्त → छूट%	y/(x + y) × 100
33	4 खरीदो 1 मुफ़्त	20%
34	3 खरीदो 2 मुफ़्त	40%
35	2 खरीदो 1 मुफ़्त	33⅓%
36	4+1 मुफ़्त के बाद भी 20% लाभ → MP अधिक	50%
37	समान SP, x% लाभ व x% हानि	x²/100 % हानि
38	दोनों ₹990 में, 10% लाभ व 10% हानि → परिणाम	₹20 हानि (1%)
39	समान SP, 20% लाभ व 20% हानि	4% हानि
40	समान CP, x% लाभ व x% हानि	न लाभ न हानि
41	CP : SP = 4 : 5	25% लाभ
42	CP : SP = 5 : 4	20% हानि
43	SP : CP = 9 : 10	10% हानि
44	CP : SP = 8 : 9	12.5% लाभ
45	15 का CP = 12 का SP	25% लाभ
46	16 का CP = 20 का SP	20% हानि
47	25 बेचकर 5 के SP जितना लाभ	25%
48	₹10 के 3 ख़रीदे, ₹10 के 2 बेचे	50% लाभ
49	₹5 के 6 ख़रीदे, ₹6 के 5 बेचे	44% लाभ
50	CP 3 : 4, A पर 20% लाभ, B पर 10% हानि	2 6/7% लाभ
51	15% छूट के बाद SP ₹1530 → MP	₹1800
52	CP ₹500, 10% छूट पर भी 17% लाभ → MP	₹650
53	MP 50% अधिक, छूट 20% → लाभ%	20%
54	ख़रीद में 1100 g, बिक्री में 900 g (1 kg के दाम) → लाभ%	22 2/9%
55	20 बेचकर 4 के SP जितनी हानि → हानि%	16⅔%
56	A→B 20% लाभ, B→C 10% लाभ, C ने ₹2640 दिए → A का CP	₹2000
57	A→B 10% हानि, B→C 20% लाभ, C ने ₹1080 दिए → A का CP	₹1000
58	SP दोगुना करने पर लाभ तिगुना → लाभ%	100%

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13. परीक्षा में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

इस अध्याय के प्रश्न प्रायः सात ढाँचों में आते हैं। हर ढाँचे के लिए एक नमूना (स्वयं बनाया गया) प्रश्न:

1. सीधा सूत्र: "एक साइकिल ₹2500 में ख़रीदकर ₹2800 में बेची गई; लाभ%?" (300/2500 × 100 = 12%)
2. उलटा सूत्र: "8% हानि पर एक घड़ी ₹1380 में बिकी; CP?" (1380 × 100/92 = ₹1500)
3. क्रमिक छूट: "MP ₹5000 पर 10% और 5% की क्रमिक छूट; SP?" (5000 × 0.9 × 0.95 = ₹4275)
4. अंकित मूल्य + लाभ: "दुकानदार CP से 50% अधिक अंकित करके 20% छूट देता है; लाभ%?" (50 − 20 − 10 = 20%)
5. झूठे बाट: "दुकानदार 1 kg की जगह 875 g तौलता है और CP पर बेचता है; लाभ%?" (125/875 × 100 = 14 2/7%)
6. भिन्न-गुणक: "33⅓% लाभ पर एक वस्तु ₹840 में बिकी; CP?" (CP : SP = 3 : 4 → 4 भाग = 840 → CP = ₹630)
7. समान SP: "दो मकान ₹9,90,000 प्रत्येक में बिके — एक पर 10% लाभ, दूसरे पर 10% हानि; परिणाम?" (1% हानि, कुल CP ₹20,00,000, हानि ₹20,000)

रणनीति: CP = 100 मानकर चलें — MP, छूट और लाभ एक ही पंक्ति में जुड़ जाते हैं। झूठे बाट और "मुफ़्त" वाले प्रश्नों में पहले छिपी हुई छूट या लाभ को प्रतिशत में बदलें। परीक्षा-स्तर के अभ्यास के लिए RRB NTPC CBT-1 2026 टेस्ट सीरीज़ हल करें।

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14. इसे आसानी से याद कैसे रखें?

1. आधार: "लाभ-हानि CP पर, छूट MP पर" — "ख़रीद पर कमाई, लिखे पर छूट"।

2. क्रमिक छूट: "जोड़ो, फिर गुणा का सौवाँ घटाओ" — a + b − ab/100।

3. समान SP: "बिक्री बराबर, तो घाटा पक्का — x का वर्ग बटा सौ"।

4. झूठे बाट: "चोरी ऊपर, बचा नीचे" — (सही − गलत)/गलत।

5. मुफ़्त योजना: "मुफ़्त ऊपर, कुल नीचे" — y/(x + y)।

6. MP/CP: "लाभ जोड़ो ऊपर, छूट घटाओ नीचे" — (100 + P)/(100 − D)।

7. वस्तुओं की संख्या: "CP वाली संख्या − SP वाली संख्या, बटा SP वाली संख्या" — 15 का CP = 12 का SP → 3/12 = 25%।

8. शृंखला बिक्री: "हाथ बदले, गुणक गुणा" — 1.2 × 1.1 = 1.32, जोड़ना नहीं।

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15. कथन अभ्यास

लाभ% सामान्यतः क्रय मूल्य पर निकाला जाता है। — सही।

छूट% क्रय मूल्य पर निकाली जाती है। — गलत (छूट% अंकित मूल्य पर निकाली जाती है)।

20% और 10% की क्रमिक छूट 30% की एकल छूट के बराबर है। — गलत (28% के बराबर)।

क्रमिक छूटों का क्रम बदलने से अंतिम विक्रय मूल्य नहीं बदलता। — सही।

1 kg की जगह 900 g तौलकर CP पर बेचने वाले को 10% लाभ होता है। — गलत (11 1/9% लाभ)।

"4 खरीदो 1 मुफ़्त" योजना 20% छूट के बराबर है। — सही।

समान SP पर एक वस्तु 10% लाभ और दूसरी 10% हानि पर बिके तो न लाभ न हानि होती है। — गलत (1% हानि होती है)।

समान CP वाली दो वस्तुओं में एक पर x% लाभ और दूसरी पर x% हानि हो तो न लाभ न हानि होती है। — सही।

CP : SP = 4 : 5 का अर्थ 25% लाभ है। — सही।

16 वस्तुओं का CP = 20 वस्तुओं का SP हो तो 25% हानि है। — गलत (4/20 × 100 = 20% हानि)।

CP से 25% अधिक अंकित करके 20% छूट देने पर न लाभ न हानि होती है। — सही।

A ने B को 20% लाभ पर और B ने C को 10% लाभ पर बेचा, तो A के CP पर कुल वृद्धि 30% है। — गलत (1.2 × 1.1 = 1.32, अर्थात 32%)।

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16. एक दिन पहले — 15 रेखाएँ

1. लाभ% = लाभ/CP × 100; हानि% = हानि/CP × 100।
2. SP = CP × (100 ± r)/100; CP = SP × 100/(100 ± r)।
3. उपरिव्यय (मरम्मत, ढुलाई) CP में जुड़ता है।
4. छूट% = छूट/MP × 100; SP = MP × (100 − D)/100।
5. क्रमिक छूट = a + b − ab/100; 20% व 10% → 28%।
6. MP M% अधिक, छूट D% → लाभ% = M − D − MD/100।
7. MP/CP = (100 + P)/(100 − D); 20% छूट पर 20% लाभ → 50% अधिक अंकन।
8. झूठे बाट: (सही − गलत)/गलत × 100; 900 g → 11 1/9%।
9. घोषित लाभ + झूठा बाट: गुणकों का गुणा।
10. x खरीदो y मुफ़्त → y/(x + y) × 100।
11. समान SP, x% लाभ व x% हानि → x²/100 % हानि; समान CP → शून्य।
12. a का CP = b का SP → (a − b)/b × 100।
13. लाभ = SP का r% → CP पर r/(100 − r) × 100।
14. अलग-अलग CP वाली वस्तुएँ → भारित औसत, साधारण औसत नहीं।
15. शृंखला बिक्री: गुणकों का गुणा (1.2 × 1.1 = 1.32)।

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17. अभ्यास

नोट पढ़ने के बाद इस पृष्ठ के अंत में दिए 25 प्रश्नों का क्विज़ हल करें। जिन प्रश्नों में गलती हो, उनके लिए खंड 5 (छूट), खंड 6 (झूठे बाट) और खंड 11 (Exam Traps) दोबारा पढ़ें। प्रतिशत की नींव कमज़ोर लगे तो प्रतिशत के सूत्र नोट दोहराएँ, और पूर्ण अभ्यास के लिए राजस्थान CET (स्नातक) मेगा टेस्ट सीरीज़ या SSC CGL 2026 टेस्ट सीरीज़ हल करें।

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18. निष्कर्ष: परीक्षा के लिए क्या याद रखें?

लाभ-हानि और छूट के लगभग हर प्रश्न का हल यह पहचानने में है कि प्रतिशत किस आधार पर है — लाभ-हानि CP पर और छूट MP पर। CP = 100 मानकर अंकन, छूट और लाभ को एक श्रृंखला में जोड़ें; क्रमिक छूट के लिए a + b − ab/100 और MP/CP के लिए (100 + P)/(100 − D) याद रखें। झूठे बाट, "x खरीदो y मुफ़्त" और समान SP वाले प्रश्न अपने-अपने सूत्र से सेकंडों में हल होते हैं, बशर्ते उनकी शर्तें — केवल तौल में बेईमानी, समान मूल्य की वस्तुएँ, और समान SP — जाँच ली जाएँ।

लाभ-हानि CP पर, छूट MP पर | क्रमिक छूट a + b − ab/100 | MP/CP = (100 + P)/(100 − D) | झूठे बाट (सही − गलत)/गलत | मुफ़्त y/(x + y) | समान SP → x²/100 % हानि | a का CP = b का SP → (a − b)/b

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