क्षेत्रमिति — आयत, त्रिभुज, वृत्त का क्षेत्रफल और घन, बेलन, शंकु, गोले का आयतन, 44 हल उदाहरण

संक्षिप्त उत्तर: क्षेत्रमिति में 2D आकृतियों का क्षेत्रफल व परिमाप और 3D आकृतियों का आयतन, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) व संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) पूछे जाते हैं। आयत = l × b, वर्ग = a² (या विकर्ण²/2), त्रिभुज = ½ × आधार × ऊँचाई, हीरोन सूत्र √[s(s−a)(s−b)(s−c)] और समबाहु त्रिभुज = (√3/4)a²; समचतुर्भुज = ½ × d1 × d2 और समलंब = ½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई। वृत्त का क्षेत्रफल πr² और परिधि 2πr है (π = 22/7) — r = 7 पर 154 और 44, r = 14 पर 616 और 88। घन का आयतन a³ व TSA 6a², घनाभ का आयतन lbh व विकर्ण √(l² + b² + h²), बेलन का आयतन πr²h, शंकु का ⅓πr²h (तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²)), गोले का (4/3)πr³ व पृष्ठ 4πr² और अर्धगोले का TSA 3πr² है। सभी लंबाइयाँ x% बढ़ने पर क्षेत्रफल (2x + x²/100)% बढ़ता है (10% → 21%) और आयतन 1.1³ गुना (33.1% वृद्धि); त्रिज्या दोगुनी करने पर गोले का आयतन 8 गुना हो जाता है। मात्रक: 1 हेक्टेयर = 10,000 m², 1 m³ = 1000 लीटर, 1 लीटर = 1000 cm³।

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संक्षिप्त उत्तर

1.1 द्विविमीय (2D) आकृतियाँ

आकृति	क्षेत्रफल	परिमाप / अन्य
आयत (l, b)	l × b	2(l + b); विकर्ण √(l² + b²)
वर्ग (a)	a² = d²/2	4a; विकर्ण a√2
त्रिभुज	½ × आधार × ऊँचाई	a + b + c
त्रिभुज (तीन भुजाएँ)	√[s(s−a)(s−b)(s−c)], s = (a+b+c)/2	हीरोन सूत्र
समबाहु त्रिभुज (a)	(√3/4)a²	ऊँचाई (√3/2)a
समकोण त्रिभुज	½ × आधार × लंब	कर्ण² = आधार² + लंब²
समांतर चतुर्भुज	आधार × ऊँचाई	2(a + b)
समचतुर्भुज	½ × d1 × d2	भुजा = ½√(d1² + d2²); परिमाप 4a
समलंब चतुर्भुज	½ × (a + b) × h	a, b = समांतर भुजाएँ
वृत्त (r)	πr²	परिधि 2πr
अर्धवृत्त	πr²/2	परिमाप πr + 2r
त्रिज्यखंड (θ)	(θ/360) × πr²	चाप = (θ/360) × 2πr
वलय (R, r)	π(R² − r²)	—

1.2 त्रिविमीय (3D) आकृतियाँ

आकृति	आयतन	CSA / LSA	TSA
घन (a)	a³	4a²	6a²; विकर्ण a√3
घनाभ (l, b, h)	lbh	2h(l + b) (चार दीवारें)	2(lb + bh + hl); विकर्ण √(l² + b² + h²)
बेलन (r, h)	πr²h	2πrh	2πr(r + h)
शंकु (r, h, l)	⅓πr²h	πrl	πr(l + r); l = √(r² + h²)
गोला (r)	(4/3)πr³	4πr²	4πr²
अर्धगोला (r)	(2/3)πr³	2πr²	3πr²

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2. सिलेबस में यह टॉपिक क्यों महत्वपूर्ण है?

क्षेत्रमिति (Mensuration) अंकगणित और ज्यामिति का पुल है। राजस्थान CET (12वीं व स्नातक), पटवारी और VDO में आयत, वर्ग, त्रिभुज, वृत्त के क्षेत्रफल-परिमाप, खेत का हेक्टेयर में क्षेत्रफल, पथ का क्षेत्रफल और टंकी की धारिता (लीटर) जैसे व्यावहारिक प्रश्न बनते हैं। पटवारी जैसी भू-अभिलेख से जुड़ी परीक्षाओं में क्षेत्रफल और मात्रक रूपांतरण का विशेष व्यावहारिक महत्व है। SSC CGL/CHSL/MTS/GD और RRB NTPC में 3D आकृतियाँ, पिघलाकर ढालना और विमाओं में प्रतिशत परिवर्तन का प्रभाव भी पूछा जाता है; प्रतिशत परिवर्तन वाले प्रश्न प्रतिशत के सूत्रों और अनुपात वाले अनुपात-समानुपात पर टिके हैं।

परीक्षा उपयोगिता: ★★★★★

• राजस्थान CET (12वीं व स्नातक) — 2D क्षेत्रफल-परिमाप, वृत्त, पथ, सरल 3D आयतन
• पटवारी / VDO — खेत का क्षेत्रफल, हेक्टेयर रूपांतरण, बाड़ लगाने व फ़र्श का ख़र्च
• SSC CGL / CHSL / MTS / GD — हीरोन सूत्र, समचतुर्भुज, शंकु-गोला, पिघलाकर ढालना, प्रतिशत परिवर्तन
• RRB NTPC — वृत्त-पहिया, बेलन-टंकी, घन-घनाभ, अनुपात वाले प्रश्न

प्रश्न कैसे आते हैं?

1. सीधा सूत्र — क्षेत्रफल, परिमाप, आयतन, पृष्ठीय क्षेत्रफल
2. उलटा प्रश्न — परिधि से क्षेत्रफल, TSA से आयतन
3. व्यय (cost) — बाड़, फ़र्श, रंगाई, टाइल की संख्या
4. पथ / वलय का क्षेत्रफल
5. पहिये के चक्कर
6. पिघलाकर दूसरी आकृति बनाना
7. विमाएँ प्रतिशत या अनुपात में बदलने पर प्रभाव
8. मात्रक रूपांतरण — हेक्टेयर, लीटर, cm³

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3. मात्रक और रूपांतरण

राशि	रूपांतरण
लंबाई	1 km = 1000 m; 1 m = 100 cm; 1 cm = 10 mm
क्षेत्रफल	1 m² = 10,000 cm²; 1 km² = 10,00,000 m²
हेक्टेयर	1 हेक्टेयर = 10,000 m²; 1 km² = 100 हेक्टेयर
आयतन	1 m³ = 10,00,000 cm³
धारिता	1 m³ = 1000 लीटर; 1 लीटर = 1000 cm³; 1 cm³ = 1 mL

नियम: लंबाई का गुणक 100 हो तो क्षेत्रफल का 100² = 10,000 और आयतन का 100³ = 10,00,000 होता है।

उदाहरण 1: 250 m लंबे और 200 m चौड़े खेत का क्षेत्रफल हेक्टेयर में? → 250 × 200 = 50,000 m² = 50,000/10,000 = 5 हेक्टेयर।

उदाहरण 2: 5 m × 4 m × 3 m की टंकी में कितने लीटर पानी आएगा? → 60 m³ × 1000 = 60,000 लीटर।

उदाहरण 3 (हेक्टेयर से भुजा): एक वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल 2.25 हेक्टेयर है। उसके चारों ओर ₹10 प्रति मीटर से बाड़ लगाने का ख़र्च?

• क्षेत्रफल = 2.25 × 10,000 = 22,500 m² → भुजा = √22,500 = 150 m
• परिमाप = 4 × 150 = 600 m → ख़र्च = 600 × 10 = ₹6,000

उदाहरण 4 (तालाब की धारिता): 20 m × 15 m के आयताकार तालाब में 2 m गहराई तक पानी भरा है। पानी कितने किलोलीटर है?

• आयतन = 20 × 15 × 2 = 600 m³ = 6,00,000 लीटर = 600 किलोलीटर (1 m³ = 1000 L = 1 kL)

टिप्पणी: बीघा, बिस्वा जैसी स्थानीय इकाइयों का मान अलग-अलग क्षेत्रों में अलग होता है; परीक्षा में इनका मान प्रश्न में दिया हो तभी प्रयोग करें।

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4. आयत, वर्ग और पथ

4.1 आयत

उदाहरण 5: एक आयत की लंबाई 24 m और चौड़ाई 10 m है। क्षेत्रफल, परिमाप और विकर्ण?

• क्षेत्रफल = 24 × 10 = 240 m²
• परिमाप = 2(24 + 10) = 68 m
• विकर्ण = √(576 + 100) = √676 = 26 m
• ₹15 प्रति मीटर से बाड़ का ख़र्च = 68 × 15 = ₹1,020

उदाहरण 6: 6 m × 4 m के कमरे के फ़र्श पर 50 cm × 50 cm की टाइलें लगानी हैं। कितनी टाइलें लगेंगी?

• फ़र्श = 24 m²; एक टाइल = 0.5 × 0.5 = 0.25 m²
• टाइलें = 24/0.25 = 96 (पहले मात्रक एक करें)

4.2 वर्ग

उदाहरण 7: वर्ग का विकर्ण 12 cm है। क्षेत्रफल? → d²/2 = 144/2 = 72 cm²।

उदाहरण 8: वर्ग की भुजा 15 cm है। क्षेत्रफल 225 cm², परिमाप 60 cm, विकर्ण 15√2 ≈ 21.21 cm।

4.3 आयताकार पथ

स्थिति	पथ का क्षेत्रफल	उदाहरण: लॉन 40 m × 30 m, पथ 5 m
पथ बाहर की ओर (चारों ओर)	(l + 2w)(b + 2w) − lb	50 × 40 − 1200 = 800 m²
पथ अंदर की ओर (चारों ओर)	lb − (l − 2w)(b − 2w)	1200 − 30 × 20 = 600 m²

उदाहरण 9 (बीच की सड़कें): 80 m × 60 m के पार्क के बीच में लंबाई और चौड़ाई के समांतर 5 m चौड़ी दो सड़कें एक-दूसरे को काटती हैं। सड़कों का क्षेत्रफल?

• 80 × 5 + 60 × 5 − 5 × 5 = 400 + 300 − 25 = 675 m²
• शर्त: चौराहे का वर्ग (w²) दो बार गिना गया है, इसलिए एक बार घटाएँ।

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5. त्रिभुज

प्रकार	सूत्र	उदाहरण	उत्तर
सामान्य	½ × b × h	आधार 10, ऊँचाई 7	35
समकोण	½ × आधार × लंब	6, 8, 10	24
तीन भुजाएँ (हीरोन)	√[s(s−a)(s−b)(s−c)]	13, 14, 15	84
समबाहु	(√3/4)a²	a = 12	36√3 ≈ 62.35
समद्विबाहु	(b/4)√(4a² − b²)	a = 13, b = 10	60

उदाहरण 10 (हीरोन सूत्र): भुजाएँ 13 cm, 14 cm, 15 cm वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल?

• s = (13 + 14 + 15)/2 = 21
• s − a = 8, s − b = 7, s − c = 6
• क्षेत्रफल = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 cm²
• 14 cm आधार पर ऊँचाई = 2 × 84/14 = 12 cm

उदाहरण 11 (समबाहु): भुजा 12 cm वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल और ऊँचाई?

• क्षेत्रफल = (√3/4) × 144 = 36√3 cm² ≈ 62.35 cm²
• ऊँचाई = (√3/2) × 12 = 6√3 cm ≈ 10.39 cm

उदाहरण 12 (समद्विबाहु): बराबर भुजाएँ 13 cm और आधार 10 cm। ऊँचाई = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm; क्षेत्रफल = ½ × 10 × 12 = 60 cm²।

उदाहरण 13: समबाहु त्रिभुज का परिमाप 36 cm है। क्षेत्रफल? → भुजा 12 cm → 36√3 cm²।

समकोण त्रिभुज के प्रचलित त्रिक (Pythagorean triplets): (3, 4, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41) — इन्हें याद रखने से विकर्ण, कर्ण और तिर्यक ऊँचाई जल्दी निकलते हैं।

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6. चतुर्भुज: समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज, समलंब

आकृति	क्षेत्रफल	उदाहरण	उत्तर
समांतर चतुर्भुज	आधार × ऊँचाई	आधार 15, ऊँचाई 8	120
समचतुर्भुज	½ × d1 × d2	d1 = 16, d2 = 12	96
समलंब	½ × (a + b) × h	a = 20, b = 12, h = 7	112

उदाहरण 14 (समचतुर्भुज): विकर्ण 16 cm और 12 cm हैं। क्षेत्रफल, भुजा और परिमाप?

• क्षेत्रफल = ½ × 16 × 12 = 96 cm²
• विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं → भुजा = √(8² + 6²) = 10 cm
• परिमाप = 4 × 10 = 40 cm

उदाहरण 15 (समलंब): समांतर भुजाएँ 20 m और 12 m, उनके बीच की दूरी 7 m। क्षेत्रफल = ½ × 32 × 7 = 112 m²।

उदाहरण 16 (समांतर चतुर्भुज): क्षेत्रफल 120 cm² और आधार 15 cm हो तो ऊँचाई = 120/15 = 8 cm।

सावधानी: समांतर चतुर्भुज में "आधार × तिरछी भुजा" नहीं, "आधार × लंबवत ऊँचाई" लेना है। वर्ग भी एक समचतुर्भुज है — उसके लिए भी ½ × d × d = d²/2 सही बैठता है।

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7. वृत्त, अर्धवृत्त, त्रिज्यखंड और वलय

इस नोट में π = 22/7 लिया गया है; त्रिज्या 7 के गुणज हो तो उत्तर पूर्णांक आते हैं।

त्रिज्या r	परिधि 2πr	क्षेत्रफल πr²
7	44	154
14	88	616
21	132	1386
35	220	3850

उदाहरण 17: वृत्त की परिधि 88 cm है। क्षेत्रफल? → 2πr = 88 → r = 88 × 7/44 = 14 → πr² = 616 cm²।

उदाहरण 18: वृत्त का क्षेत्रफल 154 cm² है। परिधि? → r² = 154 × 7/22 = 49 → r = 7 → 44 cm।

उदाहरण 19 (अर्धवृत्त): r = 7 cm। क्षेत्रफल = 154/2 = 77 cm²; परिमाप = πr + 2r = 22 + 14 = 36 cm (व्यास जोड़ना न भूलें)।

उदाहरण 20 (त्रिज्यखंड): r = 21 cm, केंद्रीय कोण 60°। क्षेत्रफल = (60/360) × 1386 = 231 cm²; चाप = (60/360) × 132 = 22 cm।

उदाहरण 21 (चतुर्थांश): r = 14 cm, θ = 90° → क्षेत्रफल 616/4 = 154 cm², चाप 88/4 = 22 cm।

उदाहरण 22 (वलय): दो संकेंद्री वृत्तों की त्रिज्याएँ 14 cm और 7 cm। बीच का क्षेत्रफल = (22/7)(196 − 49) = (22/7) × 147 = 462 cm²।

उदाहरण 23 (वृत्ताकार पथ): 21 m त्रिज्या के गोल बगीचे के चारों ओर बाहर 7 m चौड़ा पथ है। पथ का क्षेत्रफल?

• R = 28, r = 21 → (22/7)(784 − 441) = (22/7) × 343 = 1078 m²

उदाहरण 24 (पहिया): 35 cm त्रिज्या वाला पहिया 1.1 km चलने में कितने चक्कर लगाएगा?

• एक चक्कर = परिधि = 2 × (22/7) × 35 = 220 cm = 2.2 m
• चक्कर = 1100/2.2 = 500

उदाहरण 25 (वर्ग बनाम वृत्त): 44 cm लंबे तार से वर्ग बने तो क्षेत्रफल 11² = 121 cm²; वृत्त बने तो r = 7, क्षेत्रफल 154 cm²। समान परिमाप में वृत्त का क्षेत्रफल अधिक होता है।

उदाहरण 26: 14 cm भुजा वाले वर्ग में बना सबसे बड़ा वृत्त — r = 7, क्षेत्रफल 154 cm²; वर्ग का बचा भाग = 196 − 154 = 42 cm²।

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8. घन और घनाभ

उदाहरण 27 (घन): भुजा 5 cm — आयतन 125 cm³, पार्श्व (4 दीवारें) 4a² = 100 cm², TSA 6a² = 150 cm², विकर्ण 5√3 ≈ 8.66 cm।

उदाहरण 28 (TSA से आयतन): घन का TSA 150 cm² है। आयतन? → 6a² = 150 → a = 5 → 125 cm³।

उदाहरण 29 (घनाभ): l = 12, b = 4, h = 3 cm।

राशि	गणना	उत्तर
आयतन	12 × 4 × 3	144 cm³
TSA	2(48 + 12 + 36)	192 cm²
चार दीवारें	2 × 3 × (12 + 4)	96 cm²
विकर्ण	√(144 + 16 + 9) = √169	13 cm

उदाहरण 30 (कमरे की रंगाई): 10 m × 8 m × 4 m के कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2 × 4 × (10 + 8) = 144 m²; ₹20 प्रति m² से रंगाई = ₹2,880 (दरवाज़े-खिड़कियाँ न घटाई जाएँ तो)।

उदाहरण 31 (अनुपात): घनाभ की विमाएँ 3 : 2 : 1 में हैं और आयतन 384 cm³ है। विमाएँ?

• 3x × 2x × x = 6x³ = 384 → x³ = 64 → x = 4
• विमाएँ = 12, 8, 4 cm

उदाहरण 32 (छोटे घन काटना): 12 cm × 8 cm × 6 cm के घनाभ से 2 cm भुजा वाले कितने घन कटेंगे?

• आयतन विधि: 576/8 = 72; विमा विधि: (12/2) × (8/2) × (6/2) = 6 × 4 × 3 = 72
• शर्त: आयतन से भाग देना तभी सही है जब हर विमा छोटे घन की भुजा से पूरी-पूरी बँटे; अन्यथा विमा विधि (पूर्णांक भाग) ही लें।

उदाहरण 33 (फ़र्श का ख़र्च): 15 m × 12 m के हॉल में ₹40 प्रति m² से फ़र्श बिछाने का ख़र्च = 180 × 40 = ₹7,200।

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9. बेलन और शंकु

9.1 बेलन (Cylinder)

उदाहरण 34: r = 7 cm, h = 10 cm।

• आयतन = (22/7) × 49 × 10 = 1540 cm³
• CSA = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 cm²
• TSA = 2 × (22/7) × 7 × (7 + 10) = 44 × 17 = 748 cm²

उदाहरण 35 (टंकी की धारिता): बेलनाकार टंकी की त्रिज्या 0.7 m और ऊँचाई 2 m है। कितने लीटर?

• आयतन = (22/7) × 0.49 × 2 = 3.08 m³ = 3.08 × 1000 = 3,080 लीटर

उदाहरण 36 (खोखला बेलन / पाइप): किसी धातु के पाइप की बाहरी त्रिज्या 4 cm, भीतरी त्रिज्या 3 cm और लंबाई 14 cm है। धातु का आयतन?

• आयतन = πh(R² − r²) = (22/7) × 14 × (16 − 9) = 44 × 7 = 308 cm³

उदाहरण 37 (अनुपात): दो वृत्तों की परिधियाँ 2 : 3 में हैं, तो त्रिज्याएँ भी 2 : 3 और क्षेत्रफल 4 : 9 में होंगे। बेलन की त्रिज्या समान हो तो आयतन ऊँचाई के अनुपात में होता है।

9.2 शंकु (Cone)

उदाहरण 38: r = 7 cm, h = 24 cm।

• तिर्यक ऊँचाई l = √(49 + 576) = √625 = 25 cm
• आयतन = ⅓ × (22/7) × 49 × 24 = 1232 cm³
• CSA = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 550 cm²
• TSA = πr(l + r) = 22 × 32 = 704 cm²

संबंध: समान त्रिज्या और ऊँचाई वाले शंकु और बेलन के आयतन का अनुपात 1 : 3। समान r वाले शंकु (h = r), अर्धगोले और बेलन (h = r) के आयतन 1 : 2 : 3 में होते हैं।

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10. गोला और अर्धगोला

राशि (r = 21 cm)	गोला	अर्धगोला
आयतन	(4/3)πr³ = 38,808 cm³	(2/3)πr³ = 19,404 cm³
वक्र पृष्ठ	4πr² = 5,544 cm²	2πr² = 2,772 cm²
संपूर्ण पृष्ठ	4πr² = 5,544 cm²	3πr² = 4,158 cm²

उदाहरण 39: 3.5 cm त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (22/7) × 12.25 = 154 cm²।

उदाहरण 40 (अनुपात): दो गोलों की त्रिज्याएँ 2 : 3 में हैं। आयतन का अनुपात 8 : 27 और पृष्ठीय क्षेत्रफल का 4 : 9।

सावधानी: ठोस अर्धगोले के TSA में ऊपर का वृत्ताकार तल (πr²) भी जुड़ता है — 2πr² + πr² = 3πr²। खोखले (कटोरे जैसे) अर्धगोले के बाहरी भाग के लिए केवल 2πr²।

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11. पिघलाकर ढालना (Melting and Recasting)

पिघलाकर नई आकृति बनाने पर आयतन वही रहता है, पृष्ठीय क्षेत्रफल बदल जाता है।

उदाहरण 41: 6 cm त्रिज्या के धातु के गोले को पिघलाकर 2 cm त्रिज्या की कितनी गोलियाँ बनेंगी?

• संख्या = बड़ा आयतन ÷ छोटा आयतन = (6/2)³ = 27 (π और 4/3 कट जाते हैं)

उदाहरण 42: 6 cm त्रिज्या के गोले को पिघलाकर 2 cm त्रिज्या का बेलनाकार तार बनाया गया। तार की लंबाई?

• (4/3)π × 216 = π × 4 × h → 288 = 4h → h = 72 cm

उदाहरण 43: समान त्रिज्या और ऊँचाई वाले बेलन को पिघलाकर उसी त्रिज्या-ऊँचाई के कितने शंकु बनेंगे? → 3।

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12. विमाएँ बदलने का प्रभाव

क्षेत्रफल दो लंबाइयों का और आयतन तीन लंबाइयों का गुणनफल है, इसलिए प्रतिशत परिवर्तन क्रमिक (successive) रूप में लगता है: दो विमाएँ a% और b% बदलें तो क्षेत्रफल में परिवर्तन = a + b + ab/100 (कमी को ऋणात्मक लें)।

परिवर्तन	गणना	परिणाम
वर्ग की भुजा +10%	1.1² = 1.21	क्षेत्रफल +21%
वर्ग की भुजा +20%	1.2² = 1.44	क्षेत्रफल +44%
वृत्त की त्रिज्या +20%	1.2² = 1.44	क्षेत्रफल +44%, परिधि +20%
लंबाई +20%, चौड़ाई −20%	20 − 20 − 400/100	क्षेत्रफल −4%
घन की भुजा +10%	1.1³ = 1.331	आयतन +33.1%
त्रिज्या दोगुनी (गोला)	2³ और 2²	आयतन 8 गुना, पृष्ठ 4 गुना
त्रिज्या आधी (वृत्त)	(1/2)²	क्षेत्रफल 1/4
बेलन: r दोगुनी, h आधी	2² × ½	आयतन 2 गुना
बेलन: h दोगुनी, r वही	2	आयतन 2 गुना

उदाहरण 44: आयत की लंबाई 20% बढ़ाई और चौड़ाई 10% घटाई गई। क्षेत्रफल? → 20 − 10 − 200/100 = 8% वृद्धि (1.2 × 0.9 = 1.08)।

शर्त: a + b + ab/100 केवल तब लागू है जब मात्रा दो गुणनखंडों का गुणनफल हो (क्षेत्रफल = l × b)। परिमाप जैसी जोड़ वाली राशि पर यह नहीं लगता — वर्ग की भुजा 10% बढ़ाने पर परिमाप केवल 10% बढ़ता है।

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13. शॉर्टकट और उनकी शर्तें

शॉर्टकट	कब मान्य	कब नहीं
वर्ग = d²/2	वर्ग (और समचतुर्भुज में ½d1d2 का विशेष रूप)	आयत — वहाँ विकर्ण से अकेले क्षेत्रफल नहीं निकलता
(√3/4)a²	केवल समबाहु त्रिभुज	समद्विबाहु या विषमबाहु
हीरोन सूत्र	तीनों भुजाएँ ज्ञात, कोई भी त्रिभुज	—
π = 22/7	प्रश्न में यही कहा हो या r, 7 का गुणज हो	प्रश्न π = 3.14 कहे तो वही लें
a + b + ab/100	गुणनफल वाली राशि (क्षेत्रफल)	परिमाप, परिधि (जोड़ वाली राशि)
गोलियों की संख्या = (R/r)³	गोले से गोले, पूरी धातु बिना हानि	आकृति बदलने पर — आयतन सूत्र लगाएँ
शंकु : बेलन = 1 : 3	r और h दोनों समान	r या h अलग
(l+2w)(b+2w) − lb	पथ बाहर की ओर, चारों ओर	पथ अंदर की ओर — lb − (l−2w)(b−2w)

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14. परीक्षा में कौन-सी गलतियाँ होती हैं? (Exam Trap)

Trap 1: अर्धवृत्त का परिमाप

अर्धवृत्त का परिमाप केवल πr नहीं, πr + 2r है — व्यास भी सीमा का हिस्सा है। r = 7 पर 22 नहीं, 36 cm।

Trap 2: मात्रक मिलाना

टाइल cm में और कमरा m में हो, तो पहले एक मात्रक करें। 1 m² = 10,000 cm² है, 100 cm² नहीं।

Trap 3: शंकु में h और l

आयतन में ऊर्ध्व ऊँचाई h और वक्र पृष्ठ में तिर्यक ऊँचाई l लगती है। r = 7, h = 24 वाले शंकु का CSA πr × 24 नहीं, πr × 25 = 550 cm² है।

Trap 4: अर्धगोले का TSA

ठोस अर्धगोले का TSA 2πr² नहीं, 3πr² है — ऊपर का समतल वृत्त जुड़ता है।

Trap 5: क्षेत्रफल में प्रतिशत

भुजा 10% बढ़ने पर क्षेत्रफल 10% या 20% नहीं, 21% बढ़ता है; आयतन 30% नहीं, 33.1% बढ़ता है।

Trap 6: बीच की सड़कों में दोहरी गिनती

आपस में काटती दो सड़कों के क्षेत्रफल में चौराहे का w² एक बार घटाना होता है (उदाहरण 9)।

Trap 7: समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार × तिरछी भुजा नहीं, आधार × लंबवत ऊँचाई है।

Trap 8: घनाभ का पार्श्व पृष्ठ

"कमरे की चार दीवारें" = 2h(l + b); इसमें फ़र्श और छत शामिल नहीं होते। "छत सहित" कहा हो तो lb जोड़ें।

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15. Most-Asked रिवीज़न तालिका (54 तथ्य)

क्रम	प्रश्न / स्थिति	उत्तर
1	1 हेक्टेयर	10,000 m²
2	1 km²	100 हेक्टेयर
3	1 m³	1000 लीटर
4	1 लीटर	1000 cm³
5	1 m²	10,000 cm²
6	250 m × 200 m खेत	5 हेक्टेयर
7	5 × 4 × 3 m टंकी	60,000 लीटर
8	आयत 24 × 10 का विकर्ण	26
9	आयत 24 × 10 का परिमाप	68
10	वर्ग का क्षेत्रफल (विकर्ण d)	d²/2
11	वर्ग, विकर्ण 12	72
12	वर्ग का विकर्ण (भुजा a)	a√2
13	6 × 4 m फ़र्श, 50 × 50 cm टाइल	96 टाइलें
14	लॉन 40 × 30, बाहर 5 m पथ	800 m²
15	लॉन 40 × 30, अंदर 5 m पथ	600 m²
16	पार्क 80 × 60, बीच में 5 m की दो सड़कें	675 m²
17	हीरोन सूत्र	√[s(s−a)(s−b)(s−c)]
18	त्रिभुज 13, 14, 15	84
19	समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल	(√3/4)a²
20	समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई	(√3/2)a
21	समबाहु, भुजा 12	36√3
22	समकोण त्रिभुज 6, 8, 10	24
23	समद्विबाहु 13, 13, 10	60
24	समांतर चतुर्भुज	आधार × ऊँचाई
25	समचतुर्भुज	½ × d1 × d2
26	समचतुर्भुज, विकर्ण 16 व 12 — भुजा	10
27	समलंब	½ × (a + b) × h
28	समलंब 20, 12, h = 7	112
29	r = 7: परिधि, क्षेत्रफल	44, 154
30	r = 14: परिधि, क्षेत्रफल	88, 616
31	r = 21: परिधि, क्षेत्रफल	132, 1386
32	अर्धवृत्त का परिमाप	πr + 2r
33	अर्धवृत्त r = 7 का परिमाप	36
34	त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल	(θ/360)πr²
35	r = 21, θ = 60° — क्षेत्रफल	231
36	वलय R = 14, r = 7	462
37	r = 21 बगीचा, बाहर 7 m पथ	1078 m²
38	r = 35 cm पहिया, 1.1 km	500 चक्कर
39	समान परिमाप — अधिक क्षेत्रफल	वृत्त
40	घन: आयतन, TSA	a³, 6a²
41	घन का विकर्ण	a√3
42	घनाभ का विकर्ण	√(l² + b² + h²)
43	घनाभ 12, 4, 3 — विकर्ण	13
44	चार दीवारें	2h(l + b)
45	बेलन r = 7, h = 10 — आयतन	1540
46	बेलन का TSA	2πr(r + h)
47	शंकु की तिर्यक ऊँचाई	√(r² + h²)
48	शंकु r = 7, h = 24 — CSA	550
49	शंकु : बेलन (समान r, h)	1 : 3
50	गोला r = 21 — आयतन	38,808
51	अर्धगोले का TSA	3πr²
52	6 cm गोले से 2 cm गोलियाँ	27
53	भुजा +10% → क्षेत्रफल	+21%
54	त्रिज्या दोगुनी → गोले का आयतन	8 गुना

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16. परीक्षा में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

इस अध्याय के प्रश्न प्रायः सात ढाँचों में आते हैं। हर ढाँचे के लिए एक स्वयं बनाया गया नमूना प्रश्न:

1. सीधा सूत्र: "भुजाएँ 5, 12, 13 cm वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल?" (समकोण त्रिभुज → ½ × 5 × 12 = 30 cm²)
2. उलटा प्रश्न: "वृत्त की परिधि 132 cm; क्षेत्रफल?" (r = 21 → 1386 cm²)
3. व्यय: "30 m × 20 m के खेत के चारों ओर ₹12 प्रति मीटर से बाड़ का ख़र्च?" (परिमाप 100 m → ₹1,200)
4. पथ: "20 m × 15 m के लॉन के बाहर 2 m चौड़ा पथ — क्षेत्रफल?" (24 × 19 − 300 = 456 − 300 = 156 m²)
5. 3D: "शंकु r = 3 cm, h = 4 cm — तिर्यक ऊँचाई?" (5 cm)
6. पिघलाना: "9 cm त्रिज्या के गोले से 3 cm त्रिज्या की कितनी गोलियाँ?" (3³ = 27)
7. प्रतिशत परिवर्तन: "वृत्त की त्रिज्या 10% घटे तो क्षेत्रफल?" (0.9² = 0.81 → 19% कमी)

रणनीति: पहले आकृति और पूछी गई राशि पहचानें (क्षेत्रफल, परिमाप, आयतन, CSA या TSA)। सभी मात्रक एक करें। r यदि 7 का गुणज है तो π = 22/7 से उत्तर पूर्णांक आएगा। विकल्पों में √3 या π रूप हो तो अंत तक गणना उसी रूप में रखें।

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17. इसे आसानी से याद कैसे रखें?

1. "7 वाला वृत्त — 44 और 154": r = 7 → परिधि 44, क्षेत्रफल 154; r दोगुनी (14) → परिधि दोगुनी (88), क्षेत्रफल चार गुना (616)।

2. "शंकु तिहाई बेलन": ⅓πr²h — शंकु, उसी बेलन का एक-तिहाई।

3. "1 : 2 : 3 — शंकु : अर्धगोला : बेलन": समान r और h = r पर।

4. "गोले में 4, अर्धगोले में 3": गोले का पृष्ठ 4πr², ठोस अर्धगोले का TSA 3πr²।

5. "लंबाई 1 बार, क्षेत्रफल 2 बार, आयतन 3 बार": विमा k गुनी → परिमाप k, क्षेत्रफल k², आयतन k³ गुना।

6. "हेक्टेयर = 100 × 100": 1 हेक्टेयर = 100 m भुजा वाला वर्ग = 10,000 m²।

7. "घन मीटर = हज़ार लीटर": 1 m³ = 1000 L।

8. "s से घटाओ, गुणा करो, वर्गमूल लो": हीरोन सूत्र।

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18. कथन अभ्यास

1 हेक्टेयर 10,000 वर्ग मीटर के बराबर है। — सही।

1 घन मीटर में 100 लीटर होते हैं। — गलत (1 m³ = 1000 लीटर)।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (√3/4)a² होता है। — सही।

अर्धवृत्त का परिमाप πr होता है। — गलत (πr + 2r)।

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है। — सही।

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल πrh होता है। — गलत (πrl, जहाँ l तिर्यक ऊँचाई है)।

समान त्रिज्या और ऊँचाई वाले शंकु का आयतन बेलन का एक-तिहाई होता है। — सही।

ठोस अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr² होता है। — गलत (3πr²)।

गोले की त्रिज्या दोगुनी करने पर आयतन 8 गुना हो जाता है। — सही।

वर्ग की भुजा 10% बढ़ाने पर क्षेत्रफल 20% बढ़ता है। — गलत (21% बढ़ता है)।

घनाभ का विकर्ण √(l² + b² + h²) होता है। — सही।

समान परिमाप वाले वर्ग और वृत्त में वर्ग का क्षेत्रफल अधिक होता है। — गलत (वृत्त का क्षेत्रफल अधिक होता है)।

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19. एक दिन पहले — 15 रेखाएँ

1. 1 हेक्टेयर = 10,000 m²; 1 m³ = 1000 L; 1 L = 1000 cm³
2. आयत lb, 2(l+b), √(l²+b²); वर्ग a² = d²/2
3. त्रिभुज ½bh; हीरोन √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
4. समबाहु (√3/4)a², ऊँचाई (√3/2)a
5. समांतर चतुर्भुज b × h; समचतुर्भुज ½d1d2; समलंब ½(a+b)h
6. वृत्त πr², 2πr; r = 7 → 154, 44
7. अर्धवृत्त परिमाप πr + 2r; त्रिज्यखंड (θ/360)πr²
8. वलय/पथ π(R² − r²); आयताकार पथ (l+2w)(b+2w) − lb
9. पहिये के चक्कर = दूरी ÷ 2πr
10. घन a³, 6a², a√3; घनाभ lbh, 2(lb+bh+hl), √(l²+b²+h²)
11. बेलन πr²h, 2πrh, 2πr(r+h)
12. शंकु ⅓πr²h, πrl, πr(l+r); l = √(r²+h²)
13. गोला (4/3)πr³, 4πr²; अर्धगोला (2/3)πr³, 2πr², 3πr²
14. पिघलाने पर आयतन वही; गोलियाँ = (R/r)³
15. विमा k गुनी → क्षेत्रफल k², आयतन k³; +10% → +21% (क्षेत्रफल), +33.1% (आयतन)

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20. अभ्यास

नोट पढ़ने के बाद इस पृष्ठ के अंत में दिए 25 प्रश्नों का क्विज़ हल करें। हर प्रश्न में पहले मात्रक एक करें और तय करें कि क्षेत्रफल, परिमाप, आयतन, CSA या TSA में से क्या पूछा गया है; जहाँ गलती हो, वहाँ खंड 12 (विमाएँ बदलने का प्रभाव) और खंड 14 (Exam Traps) दोबारा पढ़ें। परीक्षा-स्तर के मिश्रित अभ्यास के लिए राजस्थान पटवारी 2026 टेस्ट सीरीज़ या SSC CGL 2026 टेस्ट सीरीज़ हल करें।

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21. निष्कर्ष: परीक्षा के लिए क्या याद रखें?

क्षेत्रमिति के प्रश्न सूत्रों पर टिके हैं, पर अंक अधिकतर मात्रक, सही राशि की पहचान और छोटी-छोटी चूकों (अर्धवृत्त का व्यास, शंकु की तिर्यक ऊँचाई, अर्धगोले का समतल भाग) से कटते हैं। 2D में आयत-वर्ग-त्रिभुज-वृत्त और 3D में घन-घनाभ-बेलन-शंकु-गोला के सूत्र तालिका से पक्के करें, r = 7, 14, 21 के मान याद रखें, और विमाएँ बदलने पर "k, k², k³" का नियम लगाएँ। पिघलाकर ढालने में केवल आयतन बराबर रखें।

1 हेक्टेयर = 10,000 m² | 1 m³ = 1000 L | हीरोन √[s(s−a)(s−b)(s−c)] | (√3/4)a² | r = 7 → 44, 154 | शंकु = ⅓ बेलन | गोला 4πr², अर्धगोला 3πr² | k → k², k³

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